Аттрактор Плыкина — пример динамической системы на диске, максимальный аттрактор которой гиперболичен . В частности, этот пример структурно устойчив, как удовлетворяющий аксиоме A Смейла.

Конструкция

Аттрактор Плыкина строится как фактор диффеоморфизма тора, являющегося . А именно, диффеоморфизм Аносова ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)^{3}}$ тора ${\displaystyle T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ сохраняет точки ${\displaystyle (0,0),(0,1/2),(1/2,0),(1/2,1/2)}$ , являющиеся неподвижными для отображения ${\displaystyle I:x\mapsto -x}$ . Более того, можно провести DA-конструкцию, построив коммутирующий с I диффеоморфизм f, для которого эти точки становятся отталкивающими, причём отображение в окрестности этих точек является чистой (растягивающей) гомотетией.

Фактор тора по действию инволюции ${\displaystyle I}$ — это двумерная сфера (а соответствующее накрытие — двулистное с ветвлением в четырёх точках), и коммутирующее с ${\displaystyle I}$ отображение ${\displaystyle f}$ спускается до диффеоморфизма сферы с четырьмя отталкивающими неподвижными точками. Перенос одной из них на бесконечность (позволяющий перейти к отображению диска в себя) заканчивает построение примера Плыкина.

См. также

• Озёра Вады

Литература и ссылки

• Каток А. Б. , . Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — С. 541. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9 .
• на сайте саратовской группы нелинейной динамики.