Interested Article - Гамильтонова механика

Гамильто́нова меха́ника является одной из формулировок классической механики . Предложена в 1833 году Уильямом Гамильтоном . Она возникла из лагранжевой механики , другой формулировки классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году . Гамильтонова механика может быть сформулирована без привлечения лагранжевой механики с использованием симплектических многообразий и пуассоновых многообразий .

Несмотря на формальную эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой механики, последняя, помимо привнесённых ею полезных технических дополнений, сыграла существенную роль для более глубокого понимания как математической структуры классической механики, так и её физического смысла, включая связь с механикой квантовой (Гамильтон изначально хотел ^{[

источник не указан 3862 дня

]} сформулировать классическую механику как коротковолновый предел некоторой волновой теории, что практически полностью соответствует современному взгляду).

Существует точка зрения, что формализм Гамильтона вообще более фундаментален и органичен, в том числе и в особенности для квантовой механики ( Дирак ), хотя эта точка зрения и не стала общепризнанной, в основном, видимо, из-за того, что заметная часть таких интерпретаций теряет явную (только явную) лоренц-ковариантность, а также потому, что эта точка зрения не дала такого практического выхода, который убедил бы в её важности всех. Впрочем, следует заметить, что эвристически она, вероятно, была не последней среди побудительных причин, приведших к открытию уравнения Дирака — одного из наиболее фундаментальных уравнений квантовой теории.

Переформулировка лагранжевой механики

В лагранжевой механике механическая система характеризуется лагранжианом : $L(q,\;{\dot {q}},\;t)$ $L(q,\;{\dot {q}},\;t)$ — функцией обобщённых координат $q$ $q$ и соответствующих скоростей ${\dot {q}}$ ${\dot {q}}$ , а также, возможно, времени $t$ $t$ . В гамильтоновой механике вводится понятие обобщенных импульсов , сопряженных обобщенным координатам и определяемых через лагранжиан следующим образом:

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

.

В декартовых координатах обобщённые импульсы — это физические линейные импульсы . В полярных координатах обобщённый импульс, соответствующий угловой скорости, — физический угловой момент . Для произвольного выбора обобщённых координат трудно получить интуитивную интерпретацию сопряжённых этим координатам импульсов или угадать их выражение, не используя прямо приведённую выше формулу.

Векторное уравнение Эйлера — Лагранжа тогда примет вид

{\dot {p}}={\frac {\partial L}{\partial q}}

{\dot {p}}={\frac {\partial L}{\partial q}}

.

Отсюда, в частности, следует, что если какая-то координата оказалась , то есть если функция Лагранжа от неё не зависит, а зависит только от её производной по времени, то для сопряжённого ей импульса ${\dot {p}}=0$ ${\dot {p}}=0$ , то есть он является интегралом движения (сохраняется во времени), что несколько проясняет смысл обобщённых импульсов.

В этой формулировке, зависящей от выбора системы координат, не слишком очевиден тот факт, что различные обобщённые координаты являются в действительности не чем иным, как различными координатизациями одного и того же симплектического многообразия .

С помощью преобразования Лежандра лагранжиана определяется функция Гамильтона — гамильтониан:

H\left(q,\;p,\;t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\dot {q}},\;t)

H\left(q,\;p,\;t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\dot {q}},\;t)

.

Если уравнения преобразования, определяющие обобщённые координаты, не зависят от $t$ $t$ , можно показать, что $H$ $H$ равен полной энергии:

E=T+V

E=T+V

.

Полный дифференциал гамильтониана запишется в виде:

dH=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,d{\dot {q}}_{i}\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial t}}\right)\,dt=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-{\dot {p}}_{i}\,dq_{i}-p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,dt=

dH =\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\,d\dot{q}_i\right]-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)\,dt=\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i+p_i\,d\dot{q}_i-\dot{p}_i\,dq_i-p_i\,d\dot{q}_i\right]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt =

=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-{\dot {p}}_{i}\,dq_{i}\right]-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,dt

=\sum_i\left[\dot{q}_i\,dp_i-\dot{p}_i\,dq_i\right]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt

.

С учетом того, что полный дифференциал гамильтониана также равен

dH=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,dp_{i}\right]+\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt

dH=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,dp_{i}\right]+\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt

,

получим уравнения движения гамильтоновой механики, известные как канонические уравнения Гамильтона :

{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}=-{\dot {p}}_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}_{j}

{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}=-{\dot {p}}_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}_{j}

а также связь гамильтониана и лагранжиана:

\qquad {\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}

\qquad {\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}

Уравнения Гамильтона представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, и, таким образом, их легче решать, чем уравнения Лагранжа , которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Однако шаги, приводящие к уравнениям движения, более трудоёмки, чем в лагранжевой механике — начиная с обобщённых координат и функции Лагранжа, мы должны вычислить гамильтониан, выразить каждую обобщённую скорость в терминах сопряжённых импульсов и заменить обобщённые скорости в гамильтониане сопряжёнными импульсами. В целом есть небольшой выигрыш в работе от решения проблемы в гамильтоновом, а не в лагранжевом формализме, хотя в конечном счёте это приводит к тем же решениям, что и лагранжева механика и законы движения Ньютона .

Основное предназначение гамильтонова подхода — то, что он обеспечивает основу для более фундаментальных результатов в классической механике.

Для произвольной функции канонических переменных $f(q,\;p,\;t)$ $f(q,\;p,\;t)$ имеем

{\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\{H,\;f\},

{\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t}}\,+\,\{H,\;f\},

где $\{H,\;f\}$ $\{H,\;f\}$ — скобка Пуассона . Данное уравнение является основным уравнением гамильтоновой механики. Можно непосредственно проверить, что оно справедливо также и для самих канонических переменных $f=q$ $f=q$ или $f=p$ $f=p$ .

Из данного уравнения следует, что если некоторая динамическая переменная не является непосредственной функцией времени, то она является интегралом движения тогда и только тогда, когда её скобка Пуассона равна нулю.

Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия

Простое прямое получение гамильтоновой формы механики исходит из гамильтоновой записи действия:

S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-H(p,\;q)\right)\,dt,

S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j}p_{j}{\dot {q}}_{j}-H(p,\;q)\right)\,dt,

которое можно считать фундаментальным постулатом механики в этой формулировке . (Под $p$ $p$ и $q$ $q$ без индексов тут имеется в виду весь набор обобщённых импульсов и координат).

Условие стационарности действия

\delta S=0

\delta S=0

даёт возможность получить канонические уравнения Гамильтона, причем варьирование тут ведётся независимо по $\delta p_{j}$ $\delta p_{j}$ и $\delta q_{j}$ $\delta q_{j}$ . Так получаем (снова, но теперь без использования лагранжева способа) канонические уравнения Гамильтона:

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}.

{\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}.

Используя второе, можно выразить все $p_{j}$ $p_{j}$ через набор $q_{i}$ $q_{i}$ и ${\dot {q_{i}}}$ $\dot{q_i}$ , после чего выражение под интегралом станет, очевидно, просто функцией Лагранжа. Таким образом мы получаем лагранжеву формулировку принципа стационарного (наименьшего) действия из гамильтоновой.

Математический формализм

Любая гладкая функция $H\colon M\to \mathbb {R}$ $H\colon M\to \mathbb{R}$ на симплектическом многообразии $M$ $M$ может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция $H$ $H$ известна как гамильтониан или энергетическая функция . Симплектическое многообразие называют фазовым пространством . Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как .

Симплектическое векторное поле (также называется гамильтоновым векторным полем) порождает на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время . Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами . Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.

Гамильтоново векторное поле также порождает специальную операцию — скобка Пуассона . Скобка Пуассона действует на функции на симплектическом многообразии, таким образом придавая пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли .

Если мы имеем распределение вероятности $\rho$ $\rho$ , то можно показать, что его конвективная производная равняется нулю, так как скорость фазового пространства ( ${{\dot {p}}_{i}},\;{{\dot {q}}_{i}}$ ${{\dot p}_{i}},\;{{\dot q}_{i}}$ ) имеет нулевую дивергенцию , и вероятность сохраняется. Получим

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\rho ,\;H\}.

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\rho ,\;H\}.

Это выражение называют уравнением Лиувилля . Каждая гладкая функция $G$ $G$ над симплектическим многообразием задаёт семейство однопараметрических симплектоморфизмов, и если $\{G,\;H\}=0$ $\{G,\;H\}=0$ , то $G$ $G$ сохраняется фазовым потоком.

гамильтоновых векторных полей — нерешённый вопрос. Вообще говоря, гамильтоновы системы хаотичны ; понятия меры , полноты , интегрируемости и стабильности для них плохо определены. В настоящее время исследования динамических систем посвящены главным образом изучению качественных свойств систем и их изменений.

Примечания

А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.: РХД, 1999. - 464с.
Это (с точностью до постоянного множителя, который можно опустить при подходящем выборе единиц измерения), пожалуй, наиболее прямо записанное выражение для фазы

$\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right)}$ $\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right)}$

в квантовой механике (с точки зрения фейнмановского интеграла по траекториям или при простом квазиклассическом рассмотрении движения волнового пакета), где импульс и энергия являются с точностью до того же постоянного множителя (константы Планка) — волновым вектором и частотой

$\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$ $\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$

(здесь для простоты использованы декартовы координаты). Метод же стационарной фазы $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$ $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$ даёт классическое приближение, что полностью аналогично излагаемому гамильтонову способу, другими словами, просто его повторяет. Заметим также, что в целом это один из наиболее прямых способов установить аналогию между распространением «точечных» волновых пакетов возмущений в широком классе сред и движением материальной точки механики. Аналогия же эта, в частности, позволяет получить ещё одну полезную точку зрения на природу и свойства обобщённых импульсов.

См. также

Ссылки

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5 .
Вилази Г. Гамильтонова динамика. — Перевод с англ. — М. : ИКИ и РХД, 2006. — 432 с. — ISBN 5-93972-444-2 .
тер Хаар Д. . — М. : Наука, 1974.
Виноградов А. М., Красильщик И. С. // Успехи математических наук. — 1975. — Т. 30, выпуск 1(181), — стр. 173–198.
Виноградов А. М., Купершмидт Б. А. // Успехи математических наук. — 1977. — Т. 32. — стр. 175—236.
Abraham R., Marsden J. E. Foundations of Mechanics. — London: Benjamin-Cummings, 1978. — ISBN 0-8053-0102-X .
Rychlik M. (недоступная ссылка с 18-05-2013 [3869 дней] —)
Binney J. . — Лекции в формате PDF .
Tong D. . — Лекции Кембриджского университета.

[1] А.В. Борисов, И.С. Мамаев. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.: РХД, 1999. - 464с.

[2] Это (с точностью до постоянного множителя, который можно опустить при подходящем выборе единиц измерения), пожалуй, наиболее прямо записанное выражение для фазы

$\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right)}$ $\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right)}$

в квантовой механике (с точки зрения фейнмановского интеграла по траекториям или при простом квазиклассическом рассмотрении движения волнового пакета), где импульс и энергия являются с точностью до того же постоянного множителя (константы Планка) — волновым вектором и частотой

$\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$ $\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$

(здесь для простоты использованы декартовы координаты). Метод же стационарной фазы $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$ $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$ даёт классическое приближение, что полностью аналогично излагаемому гамильтонову способу, другими словами, просто его повторяет. Заметим также, что в целом это один из наиболее прямых способов установить аналогию между распространением «точечных» волновых пакетов возмущений в широком классе сред и движением материальной точки механики. Аналогия же эта, в частности, позволяет получить ещё одну полезную точку зрения на природу и свойства обобщённых импульсов.