Когерентность (от лат. cohaerens — « находящийся в связи ») — в физике скоррелированность (согласованность) нескольких колебательных или волновых процессов во времени, проявляющаяся при их сложении. Колебания когерентны, если разность их фаз постоянна во времени, и при сложении колебаний получается колебание той же частоты.

Классический пример двух когерентных колебаний — это два синусоидальных колебания одинаковой частоты.

Когерентность волны означает, что в различных пространственных точках волны колебания происходят синхронно, то есть разность фаз между двумя точками не зависит от времени. Отсутствие когерентности, следовательно — ситуация, когда разность фаз между двумя точками не постоянна, а меняется со временем. Такая ситуация может иметь место, если волна была сгенерирована не единым излучателем, а совокупностью одинаковых, но независимых (то есть нескоррелированных ) излучателей.

Изучение когерентности световых волн приводит к понятиям временно́й и пространственной когерентности. При распространении электромагнитных волн в волноводах могут иметь место . В случае волн на воде когерентность волны определяет так называемая .

Без когерентности невозможно наблюдать такое явление, как интерференция .

Радиус когерентности — расстояние, при смещении на которое вдоль псевдо-волновой поверхности, случайное изменение фазы достигает значения порядка π .

Процесс декогеренции — нарушение когерентности, вызываемое взаимодействием частиц с окружающей средой.

Временная когерентность

Понятие временно́й когерентности можно связать с контрастом интерференционной картины , наблюдаемой в результате интерференции двух волн, исходящих из одной и той же точки поперечного сечения пучка (полученных методом деления амплитуд). Временна́я когерентность волны характеризует сохранение взаимной когерентности при временном отставании одного из таких лучей по отношению к другому. При этом мерой временной когерентности служит время когерентности — максимально возможное время отставания одного луча по отношению к другому, при котором их взаимная когерентность ещё сохраняется. Временная когерентность определяется степенью монохроматичности.

Временной аспект когерентности имеет исключительно важное значение при рассмотрении явлений взаимодействия электромагнитных волн ввиду того, что в строгом смысле на практике монохроматических волн и волн с абсолютно одинаковыми частотами не существует из-за статистического характера излучения электромагнитных волн. Монохроматические волны представляют собой бесконечный по продолжительности и локализации пространственно-временной процесс, что очевидно невозможно с точки зрения предположений о конечности энергии источников электромагнитных волн, а ввиду конечного времени излучения, его спектр также имеет ненулевую ширину.

Если разность фаз двух колебаний изменяется очень медленно, то говорят, что колебания остаются когерентными в течение некоторого времени ${\displaystyle \tau _{coh}}$ . Это время ${\displaystyle \tau _{coh}}$ называют временем когерентности .

Можно сравнить фазы одного и того же колебания в разные моменты времени ${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$ , разделённые интервалом ${\displaystyle \tau _{coh}}$ . Если негармоничность колебания проявляется в беспорядочном, случайном изменении во времени его фазы, то при достаточно большом ${\displaystyle \tau _{coh}}$ изменение фазы колебания может отклониться от гармонического закона. Это означает, что через время когерентности ${\displaystyle \tau _{coh}}$ гармоническое колебание «забывает» свою первоначальную фазу и становится некогерентным «само себе».

Для описания подобных процессов (а также процессов излучения конечной длительности) вводят понятие цуг волн — «отрезок» монохроматической волны , конечной длины. Длительность цуга ${\displaystyle \tau _{coh}}$ и будет временем когерентности, а длина ${\displaystyle l_{coh}=c\tau _{coh}}$ — длиной когерентности ( ${\displaystyle c}$ — скорость распространения волны). По истечении одного гармонического цуга он как бы заменяется другим с той же частотой, но другой фазой .

На практике монохроматические волны представляются в виде цугов конечной длительности по времени , представляющих собой гармонические во времени функции, ограниченные во времени и пространстве .

Эксперимент с интерферометром Майкельсона

Проиллюстрируем понятие временной когеретности на примере эксперимента с интерферометром Майкельсона . Предположим, что источник S испускает квазимонохроматический свет, то есть ширина полосы частот ${\displaystyle \Delta \nu }$ мала по сравнению со средней частотой. Предположим, что путь при отражении от зеркала ${\displaystyle M_{2}}$ на расстояние 2d длиннее, чем при отражении от зеркала ${\displaystyle M_{1}}$ . Тогда разность хода ${\displaystyle 2d=\Delta l=c\Delta t}$ .

Интерференционные полосы будут возникать в том случае, когда выполнено условие

${\displaystyle \Delta t\Delta \nu \leq 1}$ .

Время ${\displaystyle \Delta t}$ называется временем когерентности, а разность хода ${\displaystyle \Delta l=c\Delta t\sim {\frac {c}{\Delta \nu }}}$ — продольной длиной когерентности.

Так как ${\displaystyle \Delta \nu \sim {\frac {c\Delta \lambda }{{\overline {\lambda }}^{2}}}}$ , где ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ — средняя длина волны, то можно написать

${\displaystyle \Delta l={\frac {\overline {\lambda }}{\Delta \lambda }}{\overline {\lambda }}}$ . Каждая частотная компонента создает в пространстве свое распределение интенсивности, и распределения, созданные разными частотами, будут иметь разные условия максимумов и минимумов. В какой-то момент максимумы одних частот начинают накладываться на минимумы для других, и интерференционная картина смазывается.

Например, доплеровское уширение спектральной линии составляет порядка ${\displaystyle 10^{-1}-10^{-2}\mathrm {\AA} }$ , тогда длина когеретности будет порядка нескольких миллиметров.

Получим условие ${\displaystyle \Delta t\Delta \nu \leq 1}$ на примере прямоугольного спектра. В интерферометре Майкельсона интенсивность на экране выражается формулой

${\displaystyle I=2I_{0}+2I_{0}\cos(2kd\cos(\alpha))=2I_{0}+2I_{0}\cos \left({\frac {2\pi \nu }{c}}2d\cos(\alpha)\right)}$

здесь ${\displaystyle \alpha =r/L}$ , где r — радиус кольца (радиус точки на экране), а L — расстояние до зеркала, 2d - разность пути двух интерферирующих лучей.

Пусть частота принимает значения от ${\displaystyle \nu -\Delta \nu /2}$ до ${\displaystyle \nu +\Delta \nu /2}$ и спектр прямоугольный.

Сложим интенсивности от всех входящих частотных компонент

${\displaystyle I_{int}=2I_{0}+2I_{0}{\frac {1}{\Delta \nu }}\int _{\nu -\Delta \nu /2}^{\nu +\Delta \nu /2}\cos \left({\frac {2\pi y}{c}}2d\cos(\alpha)\right)dy=2I_{0}+2I_{0}{\frac {1}{\Delta \nu }}{\frac {\sin \left({\frac {2\pi (\nu +\Delta \nu /2)}{c}}2d\cos(\alpha)\right)-\sin \left({\frac {2\pi (\nu -\Delta \nu /2)}{c}}2d\cos(\alpha)\right)}{{\frac {2\pi }{c}}2d\cos(\alpha)}}=}$

${\displaystyle =2I_{0}+2I_{0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi (\Delta \nu)}{c}}2d\cos(\alpha)\right)}{{\frac {\pi \Delta \nu }{c}}2d\cos(\alpha)}}\cos \left(2kd\cos(\alpha)\right)}$

отсюда видно, что график интенсивности теперь содержит огибающую ${\displaystyle \sin(x)/x}$ , и видность колец значительно ослабевает при ${\displaystyle x\approx 2\pi }$ .

тогда

${\displaystyle {\frac {\pi \Delta \nu }{c}}2d\cos(\alpha)\approx 2\pi }$

поскольку ${\displaystyle \cos(\alpha)\approx 1}$ , приходим к условию ${\displaystyle {\frac {2d}{c}}\Delta \nu =\Delta t\Delta \nu \approx 1}$ для наблюдения интерференции.

Пространственная когерентность

Пространственная когерентность — когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Понятие пространственной когерентности введено для ^{[ источник не указан 4176 дней ]} объяснения явления интерференции (на экране) от двух разных источников (от двух точек удлиненного источника, от двух точек круглого источника и т. п.).

Так, при определённом расстоянии от источников разность оптического хода будет такой, что фазы двух волн будут отличаться. В результате этого приходящие волны от различных частей источника в центр экрана будут уменьшать значение мощности по сравнению с максимальным, которое имело бы место, если бы все волны имели одинаковую фазу. На расстоянии, где разность оптического хода приведёт к тому, что фазы двух волн будут различаться ровно на π , сумма двух волн будет минимальна .

Пространственная когерентность на примере опыта Юнга

Рассмотрим эксперимент типа опыта Юнга , предполагая, что источник света протяженный (в одномерном случае длины ${\displaystyle \Delta l}$ ) и квазимонохроматический, при этом каждая точка источника излучает независимо от соседней (все точки некогерентны между собой). Возникновение полос от такого источника при интерференции на двух щелях будет проявлением пространственной когерентности . Установлено, что полосы будут наблюдаться если выполнено условие

${\displaystyle \Delta l\Delta \theta \leq \lambda }$

где ${\displaystyle \Delta \theta \approx {\frac {d}{H}}}$ — угол под которым видны две щели из источника.

В случае двумерного квадратного источника со стороной ${\displaystyle \Delta l}$ отверстия должны быть расположены на экране в пределах области с площадью

${\displaystyle \Delta A\approx (H\Delta \theta)^{2}\approx {\frac {H^{2}\lambda ^{2}}{\Delta l^{2}}}}$

Эта область называется площадью когерентности в плоскости экрана, а корень из неё иногда называют поперечной длиной когерентности или радиусом когерентности .

Можно показать , что условие действительно выполнено, сложив интенсивность интерференционных картин, получающихся при интерференции от каждой точки протяженного источника по отдельности.

При этом разность путей ${\displaystyle \Delta s_{tot}}$ при прохождении света от точки источника до каждой из щелей вычисляется так же, как и в опыте Юнга ${\displaystyle \Delta s_{tot}={\frac {xd}{L}}+{\frac {y\cdot d}{H}}}$ , где y — координата точки на источнике.

${\displaystyle I=2I_{0}+2I_{0}\cos \left(k{\frac {xd}{L}}+k{\frac {yd}{H}}\right)}$

${\displaystyle I_{int}=2I_{0}+2I_{0}{\frac {1}{\Delta l}}\int _{-\Delta l/2}^{\Delta l/2}\cos \left(k{\frac {xd}{L}}+k{\frac {yd}{H}}\right)dy=2I_{0}+2I_{0}{\frac {\sin \left(k{\frac {\Delta l\cdot d}{2H}}\right)}{k{\frac {\Delta l\cdot d}{2H}}}}\cos \left(k{\frac {xd}{L}}\right)}$

В этом случае интенсивность на экране имеет вид косинуса, но амплитуда его уменьшается по закону sinc в зависимости от протяженности источника.

Видность существенно падает, когда ${\displaystyle k{\frac {\Delta l\cdot d}{2H}}=k{\frac {\Delta l\Delta \theta }{2}}\approx 2\pi }$ , что соответствует условию ${\displaystyle \Delta l\Delta \theta \leq \lambda }$ .

Радиус и площадь когерентности также можно выразить через угол, под которым видно источник из точки на экране. ${\displaystyle \Delta A={\frac {H^{2}\lambda ^{2}}{\Delta l^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Omega }}}$ , где ${\displaystyle \Omega }$ — телесный угол, под которым видно протяженный в двух направлениях источник, и, аналогично, ${\displaystyle r_{coh}={\frac {\lambda }{\varphi }}}$ .

Примечания