Моде́ль расту́щего разнообра́зия това́ров ( модель Пола Ромера , англ. product variety model ) — трёхсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях монополистической конкуренции , показывающая возможность существования устойчивого экономического роста , обусловленного поведенческими факторами. В модели технологический прогресс является следствием целенаправленной деятельности экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли . Модель внесла существенный вклад в понимание того, каким образом решения индивидов влияют на темпы экономического роста, а также причин, по которым бедные страны не могут догнать богатые. Разработана в 1988 году Полом Ромером .

История создания

В первых моделях экономического роста ( модель Солоу , модель Харрода — Домара ) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений » и «темп научного прогресса », от которых в конечном итоге и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Появившиеся позже модели Рамсея — Касса — Купманса и пересекающихся поколений преодолели недостаток экзогенности нормы сбережений — теперь эта величина определялась исходя из индивидуальных решений экономических агентов. Однако темп научного прогресса остался экзогенным в этих моделях, и во многом поэтому они тоже не смогли объяснить межстрановые различия. Модели, объясняющие экономический рост путём переопределения понятия « капитал », и включившие человеческий капитал в производственную функцию (например, модель Мэнкью — Ромера — Вейла ) также не объясняют всех различий между темпами роста и уровнем развития разных стран, даже после учёта различий в человеческом капитале . Это показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса , Дж. Де Лонга , П. Ромера . Попытки прямого включения переменной научного прогресса в производственную функцию натолкнулись на ограничение, связанное с отдачей от масштаба . В условиях совершенной конкуренции при постоянной отдаче от масштаба доход фирмы полностью уходил на оплату труда и капитала. Поэтому будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Ромер предложил использовать в моделях монополистическую конкуренцию для объяснения темпов технологического прогресса . Модель растущего разнообразия товаров (также известная как модель Пола Ромера ) была представлена на конференции «Проблема экономического развития: изучение экономического развития через свободное предпринимательство», состоявшейся в Университете штата Нью-Йорк в Буффало в мае 1988 года, опубликована в работе Пола Ромера «Эндогенные технологические изменения» в декабре 1989 года в NBER и издана в (англ.) ( в 1990 году .

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика . Фирмы максимизируют свою прибыль , а потребители — полезность . В экономике существует три сектора: (англ.) ( , (англ.) ( и НИОКР . Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции . Сектор промежуточной продукции работает в условиях монополистической конкуренции . Сектор НИОКР продает свои патенты на изобретенные продукты сектору промежуточных товаров. Экономический рост в модели происходит за счёт увеличения числа промежуточных товаров. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно .

Трудовые ресурсы ${\displaystyle L}$ , считающиеся в модели постоянными ( ${\displaystyle L=const}$ ), распределены между секторами производства конечной продукции и НИОКР :

${\displaystyle L=L_{Y}+L_{RD}}$ ,

где ${\displaystyle L_{Y}}$ — трудовые ресурсы, занятые в производстве, которые в модели считаются постоянными во времени, ${\displaystyle L_{Y}=const}$ , ${\displaystyle L_{RD}}$ — трудовые ресурсы в научно-исследовательском секторе, ${\displaystyle L_{RD}=const}$ .

Производственная функция обладает убывающей предельной производительностью, постоянной отдачей от масштаба и представляет собой функцию Диксита — Стиглица :

${\displaystyle Y_{t}=AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj}$ ,

где ${\displaystyle Y_{t}}$ — выпуск конечного продукта, ${\displaystyle A}$ — уровень технологической производительности в экономике, ${\displaystyle A=const}$ , ${\displaystyle \alpha }$ — эластичность выпуска по промежуточному товару, ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ , ${\displaystyle \alpha =const}$ , ${\displaystyle x_{j}}$ — количество используемого ${\displaystyle j}$ -го промежуточного продукта, ${\displaystyle N_{t}}$ — количество промежуточных продуктов в экономике в момент времени ${\displaystyle t}$ .

Физический капитал ${\displaystyle K}$ в экономике равен сумме промежуточных продуктов, каждый из которых полностью используется в производственном цикле :

${\displaystyle K_{t}=\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}dj}$ .

Цена единицы выпуска конечного продукта в модели: ${\displaystyle P=1}$ . Это означает, что цены промежуточных продуктов даны как отношение к цене конечного продукта: ${\displaystyle p_{j}={\frac {P_{j}}{P}}}$ . Реальная заработная плата равна ${\displaystyle w={\frac {W}{P}}}$ .

Инвестиции ${\displaystyle I}$ в модели равны сбережениям ${\displaystyle S}$ и вычисляются исходя из тождества системы национальных счетов :

${\displaystyle I_{t}={\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}}$ ,

где ${\displaystyle C_{t}=c_{t}L}$ — совокупное потребление, ${\displaystyle c_{t}}$ — потребление на единицу труда в момент времени ${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle {\dot {K}}}$ — производная капитала по времени.

Функция полезности потребителя обладает постоянной эластичностью замещения по времени, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса :

${\displaystyle U(c)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\rho t}{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}dt}$ ,

где ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — эластичность замещения по времени, ${\displaystyle \theta >0}$ , ${\displaystyle \theta =const}$ , ${\displaystyle {\rho }}$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >-1}$ , ${\displaystyle \rho =const}$ . Функция удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty ;\ \lim _{c\to \infty }u'(c)=0}$ .

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса , доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$ . Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци ( финансовой пирамиды ): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых :

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geqslant 0}$ ,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Задача фирмы и производство промежуточного и конечного продуктов

Сектор конечной продукции работает в условиях совершенной конкуренции. Задача фирмы -производителя конечных товаров выглядит следующим образом :

${\displaystyle AL_{Y}^{1-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj-\int \limits _{0}^{N_{t}}p_{j}x_{j}dj-wL_{Y}\longrightarrow {\underset {x_{j},L_{Y}}{\max }}}$ ,

Необходимые условия максимума выглядят следующим образом :

${\displaystyle p_{j}=\alpha Ax_{j}^{\alpha -1}L_{Y}^{1-\alpha }\ \forall j}$ ,

${\displaystyle w=(1-\alpha )AL_{Y}^{-\alpha }\int \limits _{0}^{N_{t}}x_{j}^{\alpha }dj}$

Для упрощения вычислений автор принимает предпосылку о том, что все промежуточные продукты одинаковы ${\displaystyle x_{j}=x\ \forall j}$ , что означает, что и их цены равны: ${\displaystyle p_{j}=p_{x}\ \forall j}$ . В этом случае функция спроса на ${\displaystyle j}$ -й промежуточный продукт имеет вид:

${\displaystyle x_{j}=x=L_{Y}\left(A{\frac {\alpha }{p_{x}}}\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}}$ .

Далее вводится предпосылка о том, что ввод нового ${\displaystyle (j+1)}$ -го товара вознаграждается монополией на его производство, а издержки единицы промежуточного продукта равны ${\displaystyle \gamma }$ . Тогда задача максимизации прибыли монополиста-производителя нового товара примет следующий вид:

${\displaystyle \alpha Ax_{j+1}^{\alpha -1}L_{Y}^{1-\alpha }-\gamma x_{j+1}\longrightarrow {\underset {x_{j+1}}{\max }}}$ .

Откуда следует, что цена нового товара равна: ${\displaystyle p_{j+1}={\frac {\gamma }{\alpha }}}$ .

Поскольку действует предпосылка о симметрии , это означает, что цены всех промежуточных товаров ${\displaystyle x_{j}}$ равны между собой. В итоге получаем производственную функцию следующего вида :

${\displaystyle Y_{t}=A^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {\alpha ^{2}}{\gamma }}\right)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}N_{t}L_{Y}}$ .

Прибыль производителя промежуточного продукта — ${\displaystyle {\pi }_{x}}$ — равна :

${\displaystyle {\pi }_{x}=(1-{\alpha }){\gamma }^{-\alpha }{\alpha }^{\frac {1+{\alpha }}{1-{\alpha }}}A^{\frac {1}{1-{\alpha }}}L_{Y}=const}$ .

Научно-исследовательский сектор и патенты

Патент в модели даёт монопольное право на производство одного вида промежуточного продукта. Цена патента равна стоимости будущей дисконтированной прибыли фирмы-монополиста. ${\displaystyle q}$ — цена патента, имеет следующий вид :

${\displaystyle q={\pi }_{x}\int \limits _{t}^{\infty }e^{-\int \limits _{t}^{s}r_{\nu }d{\nu }}ds}$ ,

где ${\displaystyle r}$ — процентная ставка .

Производная ${\displaystyle q}$ по времени имеет следующий вид: ${\displaystyle {\dot {q}}=-{\pi }_{x}+r_{t}q_{t}}$ .

Производственная функция научного-исследовательского сектора в модели находится из следующего дифференциального уравнения :

${\displaystyle {\dot {N}}=bL_{RD}N_{t}}$ ,

где ${\displaystyle b}$ — производительность в научно-исследовательском секторе, ${\displaystyle b=const}$ , ${\displaystyle {\dot {N}}}$ — производная количества промежуточных продуктов по времени, также предполагается положительный внешний эффект от количества промежуточных товаров ${\displaystyle N_{t}}$ .

Научно-исследовательский сектор работает в условиях совершенной конкуренции, потому цена патента ${\displaystyle q}$ равна предельным издержкам по разработке новой технологии ${\displaystyle \eta }$ :

${\displaystyle q={\frac {w}{bN}}=const=\eta }$ .

Задача потребителя и экономический рост

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). С учетом того, что население постоянно, бюджетное ограничение имеет вид:

${\displaystyle {\dot {a}}=w_{t}+r_{t}a_{t}-c}$ .

Задача потребителя , как и в большинстве других моделей экономического роста, в том, чтобы максимизировать свою полезность. Максимум функции полезности ${\displaystyle U(c)}$ находится путём построения функции Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина .

Решение выглядит следующим образом :

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-{\rho })}$ ,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени.

В устойчивом состоянии темпы роста потребления равны темпам роста выпуска и капитала, а в равновесном состоянии цена патента ${\displaystyle q}$ постоянна, потому :

${\displaystyle r_{t}={\frac {\pi }{q}}}$ ,

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {\dot {Y}}{Y}}={\frac {\dot {K}}{K}}={\frac {1}{\theta }}\left({\frac {\pi }{q}}-{\rho }\right)={\frac {1}{\theta }}({\alpha }bL_{Y}-{\rho })=const}$ ,

где ${\displaystyle {\dot {Y}}}$ — производная выпуска по времени.

Таким образом, внутренние параметры модели определяют темпы экономического роста без участия экзогенно задаваемой нормы сбережений.

Оптимальные темпы роста

Оптимальные с точки зрения общества в целом темпы роста находятся из решения следующей задачи централизованного планирования :

${\displaystyle \max \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {C^{1-{\theta }}}{1-{\theta }}}e^{-{\rho }t}dt}$

при условиях

${\displaystyle {\dot {K}}=Y_{t}-C_{t}=K_{t}^{\alpha }AL_{Y}^{1-\alpha }N^{1-\alpha }-C_{t}}$ ,

${\displaystyle {\dot {N}}=bL_{RD}N_{t}}$ ,

${\displaystyle L_{Y}+L_{RD}=L}$ .

Исходя из фазовых координат и условий максимума первого порядка находятся оптимальные темпы роста :

${\displaystyle {\Biggl (}{\frac {\dot {Y}}{Y}}{\Biggr )}_{opt}={\frac {1}{\theta }}((1-\alpha )^{-{\frac {1}{\alpha }}}\alpha bL-{\rho })}$ .

Более высокие темпы роста при централизованном планировании (поскольку ${\displaystyle (1-\alpha )^{-{\frac {1}{\alpha }}}>1}$ ) , чем при максимизации прибылей фирм-монополистов, достигаются за счёт того, что, во-первых, учитывается весь объём выпуска, а не только прибыль монополистов, во-вторых, учитывается отдача всех трудовых ресурсов ${\displaystyle L}$ , а не только тех, которые формируют прибыль монополистов, и в-третьих, уровень финансирования научно-исследовательского сектора выше. Однако данные темпы роста достижимы лишь в теории, механизма перехода к оптимальным параметрам модель не предполагает .

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

В предшествующих моделях экономического роста (например, АК-модель , модель пересекающихся поколений , модель Рамсея — Касса — Купманса ) не была раскрыта целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. В них инвестиционные решения принимаются опосредованно, через оптимальный уровень физического капитала. Явная же спецификация издержек и выгод от инвестиций отсутствовала. Модель растущего разнообразия товаров преодолела этот недостаток: в ней издержки и выгоды от инвестиций отражены в явном виде. Таким образом, экономический рост в модели является следствием решений индивидов, а не экзогенно задаваемой переменной, что является несомненным её преимуществом . Вследствие этого модель растущего разнообразия товаров существенно лучше объясняет различия в технологическом уровне между странами, чем предшествующие модели, которые в большинстве своём предполагали наличие абсолютной или условной конвергенции , что означает, что бедные страны по своему уровню развития должны догонять богатые. В реальности же лишь есть лишь единичные примеры ( японское экономическое чудо , корейское экономическое чудо ), когда бедные страны смогли догнать богатые по уровню ВВП на душу населения, в большинстве случаев сближения уровня развития не происходит . Модель растущего разнообразия товаров не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые .

Вместе с тем существенным недостатком модели является отсутствие перетока технологий между странами . Однако модель обладает большим потенциалом для дальнейших расширений и включения дополнительных эффектов . Этим воспользовались Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин , создавшие модель распространения технологий , преодолевшую этот недостаток . В их исследовании моделируется процесс движения технологий между странами. Страны делятся на 2 группы: страны-лидеры разрабатывает новые технологии, а страны-последователи пытаются их повторить. В этой модели наблюдается условная конвергенция. Помимо этого, в модели Барро и Сала-и-Мартина показано, что страны-последователи имеют более высокую ставку процента, чем страны-лидеры, но она снижается в долгосрочном периоде. В странах-лидерах ставка процента колеблется вокруг равновесного значения .

Другим существенным недостатком модели является зависимость темпов роста от объёма трудовых ресурсов ${\displaystyle L}$ , что предполагает, что большие (с точки зрения населения) страны должны расти существенно быстрее малых, что не нашло эмпирического подтверждения . Например, Чарльз Джонс показал, что это не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил (англ.) ( , объясняющую полученные результаты, которая является упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаров, в которой количество инноваций зависит не от общего числа, а от доли населения, занятого в секторе НИОКР .

Джин Гроссман и Эльханан Хелпман использовали модель растущего разнообразия товаров для анализа последствий мировой торговли . Модель Ромера является одним из источников (англ.) ( , в частности, моделей приспособленности стран и сложности продуктов, разрабатываемых (англ.) ( и его коллегами .

В 2018 году Пол Ромер получил Нобелевскую премию по экономике , и ряд экспертов связывают её с разработкой модели растущего разнообразия товаров, поскольку она стала основой для исследований разницы между богатыми и бедными странами, а также позволяет рассчитать стоимость патента .

Примечания

Литература

• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС , 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9 .
• Акаев А. А. // МИР (Модернизация, Инновация, Развитие). — 2015. — Т. 6 , № 2 . — С. 70—79 . — doi : .
• Барро Р. Д. , Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4 .
• Джонс Ч. И. , Воллрат Д. Введение в теорию экономического роста = Introduction to Economic Growth. — М. : Издательский дом «Дело» РАНХиГС , 2018. — 296 с. — ISBN 978-5-7749-1299-5 .
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М. : ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6 .
• Шараев Ю. В. Теория экономического роста. — М. : Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006. — 254 с. — ISBN 5-7598-0323-9 .
• Barro R. D. , Sala-i-Martin X. // NBER Working Paper. — 1995. — № 5151 . — doi : .
• De Long J. B. // (англ.) ( . — 1988. — Vol. 78, № 5 . — P. 1138—1154.
• Grossman G. , Helpman E. . — Cambridge, MA: MIT Press , 1991. — ISBN 978-0-26207-136-9 .
• Hall R. E. , Jones C. I. // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812 . — doi : .
• Howitt P. W. Endogenous Growth Theory // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L. : Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 3632—3636. — ISBN 978-1-349-95188-8 .
• Jones C. I. // (англ.) ( . — 1995. — Vol. 103, № 4 . — P. 759—784.
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L. : Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8 .
• Onyimadu C. // (англ.) ( . — 2015. — Vol. 5, № 3 . — P. 498—514. — doi : .
• Romer P. M. // (англ.) ( . — 1990. — Vol. 98, № 5 . — P. 71—102.
• Romer P. M. // NBER Working Paper. — 1989. — № 3210 . — doi : .
• Romer P. M. // NBER Working paper. — 1989. — № 3173 . — doi : .
• Zaccaria A., Cristelli M., Tacchella A., (англ.) ( . // PLOS One . — 2014. — Vol. 9, № 12 . — P. e113770. — doi : .