Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения , показывающая степень его отклонения от окружности . Обычно обозначается ${\displaystyle e}$ или ${\displaystyle \varepsilon }$ .

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия .

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности , можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку ${\displaystyle F}$ и прямую ${\displaystyle d}$ и зададим вещественное число ${\displaystyle e>0}$ ; тогда геометрическое место точек ${\displaystyle P}$ , для которых отношение расстояний до точки ${\displaystyle F}$ и до прямой ${\displaystyle d}$ равно ${\displaystyle e}$ , является коническим сечением; то есть, если ${\displaystyle P'}$ есть проекция ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle L}$ , то

${\displaystyle FP=e\cdot PP'}$ .

Это число ${\displaystyle e}$ называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

• Точка ${\displaystyle F}$ называется фокусом конического сечения.

• Прямая ${\displaystyle L}$ называется директрисой .

Коническое сечение в полярных координатах

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}}$ ,

где ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет , а ${\displaystyle \ell }$ — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр ).

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.

Свойства

• В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • при ${\displaystyle e>1}$ — гипербола . Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
  • при ${\displaystyle e=1}$ — парабола ;
  • при ${\displaystyle 0\leq e<1}$ — эллипс ;
  • для окружности полагают ${\displaystyle e=0}$ .

• Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году ) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра .
• Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой ( ${\displaystyle b}$ ) и большой ( ${\displaystyle a}$ ) полуосей:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ .

• Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой ( ${\displaystyle b}$ ) и действительной ( ${\displaystyle a}$ ) полуосей:

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ .

• Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением ${\displaystyle f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0}$ , равен ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .

• Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- ( ${\displaystyle r_{\mathrm {per} }}$ ) и апоцентров ( ${\displaystyle r_{\mathrm {ap} }}$ ):

${\displaystyle e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}}$ .

См. также

• Эксцентриситет орбиты
• Коническая константа

Примечания

Литература

• Акопян А. В. , Заславский А. А. . — М.: МЦНМО , 2007. — 136 с.