Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки — одна из основных задач механики твёрдого тела .

Основные обозначения и уравнения движения

Общий случай

Рассмотрим вращение твёрдого тела ${\displaystyle {\cal {B}}}$ вокруг неподвижной точки ${\displaystyle O}$ . Пусть ${\displaystyle OX_{\alpha }X_{\beta }X_{\gamma }}$ — абсолютная система отсчёта, оснащённая единичными векторами базиса ${\displaystyle {\bf {e}}_{\alpha }}$ , ${\displaystyle {\bf {e}}_{\beta }}$ , ${\displaystyle {\bf {e}}_{\gamma }}$ , а ${\displaystyle Ox_{1}x_{2}x_{3}}$ — подвижная система отсчёта, жёстко связанная с телом. Будем считать, что проекции векторов базиса ${\displaystyle {\bf {e}}_{\alpha }}$ , ${\displaystyle {\bf {e}}_{\beta }}$ , ${\displaystyle {\bf {e}}_{\gamma }}$ на оси подвижной системы отсчёта имеют вид ${\displaystyle {\bf {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ , ${\displaystyle {\bf {\beta }}=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})}$ , ${\displaystyle {\bf {\gamma }}=(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$ , а вектор угловой скорости в проекциях на подвижные оси записывается как ${\displaystyle {\bf {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}$ . Если ${\displaystyle {\bf {I}}}$ — тензор инерции тела, также заданный в подвижных осях, ${\displaystyle {\bf {Q}}={\bf {Q}}(t,{\bf {\omega }},{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})}$ — действующий на тело момент сил, то уравнения движения тела в этих осях имеют вид

${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {I\omega }}={\bf {I\omega }}\times \omega +{\bf {Q}}}$ .

Эти уравнения, задающие закон изменения момента количеств движения. называют уравнениями Эйлера . Кроме того, для описания движения выписывают уравнения Пуассона

${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {\alpha }}={\bf {\alpha }}\times \omega }$ , ${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {\beta }}={\bf {\beta }}\times \omega }$ , ${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {\gamma }}={\bf {\gamma }}\times \omega }$ ,

описывающие изменение в подвижных осях единичных векторов неподвижной системы отсчёта.

Уравнения Эйлера и уравнения Пуассона составляют замкнутую систему уравнений движения .

Случай потенциальных сил

В случае, когда внешние силы, действующие на тело, потенциальны с потенциалом ${\displaystyle U=U(t,{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})}$ , момент сил, действующих на тело, имеет вид

${\displaystyle {\bf {Q}}(t,{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})={\bf {\alpha }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\alpha }}}}+{\bf {\beta }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\beta }}}}+{\bf {\gamma }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\gamma }}}}}$ .

Законы сохранения

Интеграл площадей

Пусть ${\displaystyle {\bf {e}}}$ — фиксированный в абсолютном пространстве единичный вектор. Если силы, приложенные к телу таковы, что

${\displaystyle ({\bf {Q}},{\bf {e}})\equiv 0}$ ,

то сохраняется величина

${\displaystyle {\cal {J}}_{\bf {e}}=({\bf {I\omega }},{\bf {e}})=p_{\bf {e}}\equiv 0}$ ,

представляющая собой проекцию вектора момента количеств движения на направление, задаваемое вектором ${\displaystyle {\bf {e}}}$ . Эту величину называют интегралом площадей.

Геометрические интегралы

Уравнения Пуассона всегда допускают шесть квадратичных интегралов

${\displaystyle ({\bf {\alpha }},{\bf {\alpha }})=({\bf {\beta }},{\bf {\beta }})=({\bf {\gamma }},{\bf {\gamma }})=1}$ ,

${\displaystyle ({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }})=({\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})=({\bf {\gamma }},{\bf {\alpha }})=0}$ ,

выражающих ортонормированность базиса абсолютной системы отсчёта. Эти интегралы называют геометрическими .

Интеграл энергии

Также в случае, когда силы, действующие на тело, потенциальны, и потенциал не зависит явно от времени: ${\displaystyle U=U({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})}$ , уравнения движения допускают интеграл энергии

${\displaystyle {\cal {J}}_{0}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {\omega }})+U({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})=h}$

Случаи интегрируемости

Случай Эйлера

Если ${\displaystyle {Q}\equiv 0}$ , то уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона и оказываются вполне интегрируемыми: они обладают интегралом энергии

${\displaystyle {\cal {J}}_{0}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {\omega }})=h}$

и интегралом

${\displaystyle {\cal {J}}_{1}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {I\omega }})=k^{2}}$

выражающим сохранение величины вектора момента количеств движения.

Впрочем, в этом случае интегрируемости, известном как , сохраняется не только величина вектора момента количеств движения — сам вектор остаётся неизменным относительно абсолютной системы отсчёта .

Примечания

Литература

• А. В. Борисов, И. С. Мамаев Динамика твердого тела. Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 378 с.