Interested Article - Задача трёх тел

Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями. Видно, что центр масс в соответствии с законом сохранения импульса остается на месте.

Задача трёх тел в астрономии — одна из задач небесной механики , состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца , Земли и Луны ). В отличие от задачи двух тел , в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Математическая формулировка

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

где гравитационная постоянная , — массы тел, — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения

На данный момент известно более тысячи частных решений:

  • Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они существуют, когда все три тела находятся на одной прямой . В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным .
  • Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж . В них треугольник , образованный телами, остаётся равносторонним и вращается в пространстве.
  • В 1892—1899 годах Анри Пуанкаре доказал, что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.
  • В 1911 году У. Д. Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования. Лишь в 1961 году советский математик К. А. Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (см. Проблема Ситникова ).
  • В середине 1970-х годов en ( англ. Roger A. Broucke ), fr ( фр. Michel Hénon ) и Дж. Хаджидеметриу ( англ. John D. Hadjidemetriou ) независимо обнаружили семейство траекторий Бруке-Хено-Хаджидеметриу .
  • В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок», нашёл Мур .
Полости Роша для двойной системы (обозначены жёлтым)
  • В 2013 году сербские учёные и из нашли 11 новых периодических частных решений для задачи трёх тел, одинаковых по массе .
  • К 2017 году группа китайских математиков создала собственный алгоритм для поиска периодических траекторий, названный ими «чистое численное моделирование» ( Clean Numerical Simulation ). С его помощью учёные рассчитали новые траектории, в результате число известных семейств периодических траекторий для задачи трёх тел стало равным 695. Продолжая работу, эта группа учёных рассчитала ещё 1223 частных решений задачи.
  • В 2018 году математик и его коллеги из Шанхайского университета транспорта с помощью суперкомпьютера нашли 234 новых частных решения для задачи трёх тел без коллизий .

Общий случай

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу ( 1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II ):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной.

Погребысский И. Б. Комментарий к Задаче трёх тел Пуанкаре // Пуанкаре А . Избранные труды. — Т. 2. — М.: Наука, 1979. — С. 967—976.

Приближённое решение

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами , желал получить выражение для координат тел в виде

,

где — некоторые полиномы.

Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

  • Если решение задачи трёх тел является голоморфной функцией в интервале и перестает быть таковым при , то при или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). ( Пенлеве , 1897);
  • Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль момента импульса системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. ( Ф. А. Слудский , 1874);
  • Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр , через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси . ( Зундман , 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet) ).

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от , а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями вдоль всей вещественной оси плоскости , то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса , поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра , голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням . Эти ряды были найдены Зундманом в 1912 , точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий , по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум членов.

Точное решение

Система трёх тел является простейшей системой с динамическим хаосом .

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой . Сделанное ими открытие означает, что динамические системы не изоморфны .

Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.

См. также

Примечания

  1. Трунин, Д. : [ 7 ноября 2018 ] // N+1. — 2017. — 12 октября.
  2. , с. 217.
  3. . Дата обращения: 10 января 2019. 11 января 2019 года.
  4. . Lenta.ru (11 марта 2013). Дата обращения: 17 марта 2013. 21 марта 2013 года.
  5. Li, Xiaoming and Liao, Shijun. . — 2018-05-21.
  6. Маршал К. Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004
  7. Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // C. R. 193, 766—768, 1931.

Литература

  • Алексеев В. М. Лекции по небесной механике. — Ижевск: РХД, 2001. — 156 с.
  • Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. — М. : ИЛ, 1959. — 300 с.
  • Маршал К. Задача трёх тел. — Ижевск: РХД, 2004. — 640 с.
  • Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Ссылки

  • Chenciner, Alain (2007). . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : . doi : .
  • . Popular Mechanics (13 мая 2021).
Источник —

Same as Задача трёх тел