Задача Бертрана — задача, обратная к задаче двух тел и состоящая в определении силы взаимодействия по известным свойствам траекторий движения.

Первая задача Бертрана

Первая задача Бертрана . Найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющей её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия.

Эта задача была успешно решена Дарбу и Альфаном при дополнительном предположении, что сила центральная, а затем удалось отбросить и это условие . Оказалось, что таких взаимодействия два — закон всемирного тяготения и закон Гука .

Вторая задача Бертрана

Предположение о центральности силы, впрочем, можно было бы сделать и из общих соображений симметрии задачи.

Вторая задача Бертрана . Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы.

Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Задача решена самим Бертраном . Наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру

Задача Кенигса

(Koenigs G.) предложил ещё более общую задачу:

Задача Кенигса . Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы.

Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.

Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом . Идея доказательства сводится к доказательству замкнутости аналитической финитной орбиты , что сводит задачу к предыдущей.

Историческая справка

Задачи определения вида сил при движении тела по орбитам в виде конических сечений и вида орбит по заданному закону сил поставлены и полностью решены Исааком Ньютоном в I книге « Математических начал » с использованием разработанного им синтетического метода, объединяющего геометрические доказательства основных теорем математического анализа и теории пределов с созданной им теорией аналитических рядов на основе бинома Ньютона .

В отделе III ( О движении тел по эксцентричным коническим сечениям ) доказывается, что движение по коническим сечениям возможно лишь для закона обратных квадратов ( Предложения XI—XIII ), либо для закона первой степени (Гука, Предложение Х ). Причём первый случай отвечает направлению силы к фокусу конического сечения, а второй — в геометрический центр эллипса. В Отделе II предварительно доказывается, что движение тела по части любой гладкой кривой, лежащей в плоскости, может быть сведено к движению в поле некоторой центральной силы с притягивающим центром на этой плоскости ( Предложение VII, Следствия 2 и 3 ).

В отделе IХ ( О движении тел по подвижным орбитам и о перемещении апсид ) доказывается с использованием аналитических рядов и предельного перехода от орбиты, близкой к кругу, к круговой, что замкнутая орбита может быть только при показателе степени +1 (закон Гука, Пример 2 ) или −2 (закон тяготения, Пример 3).

В предисловии к «Началам» автор перевода и редактор первого издания «Начал» на русском языке механик А. Н. Крылов отмечает, что первый перевод на английский язык был сделан в 1727 году, на французский — лишь в 1759 маркизой дю Шатле , и работа Ньютона на современных европейских языках стала доступной лишь спустя много десятилетий после первого её издания в 1686 году.

Примечания