Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве , полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.

Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах , совпадающих с осями деформации эллипсоида:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}$ где ${\displaystyle a,b,c}$ — произвольные положительные числа.

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка .

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом .

Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли .

Параметрическое уравнение эллипсоида:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

где

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

Площадь поверхности эллипсоида вращения ^{[ источник не указан 3816 дней ]} :

${\displaystyle S=4\pi b^{2}\left(1+{\frac {2}{3}}e^{2}+{\frac {3}{5}}e^{4}+{\frac {4}{7}}e^{6}+...+{\frac {k+1}{2k+1}}e^{2k}+...\right).}$

В элементарных функциях ^{[ источник не указан 3816 дней ]} :

${\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\mathrm {arth} \,e\right)\quad {\mbox{,}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\quad (c<a),}$

${\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)\quad \qquad {\mbox{,}}\;\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\quad (c>a),}$

Oblate, prolate — сплюснутый и вытянутый соответственно.

Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Объём эллипсоида:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}$

• 
  Вытянутый эллипсоид вращения
• 
  Сплюснутый эллипсоид вращения
• 
  Сплюснутый эллипсоид вращения и его образующая
• 
  Трехосный эллипсоид с различными длинами полуосей

Примечания

Литература

• Бобылёв Д. К. ,. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. , Высшая математика. Первый семестр / интерактивный компьютерный учебник.