Тополо́гия — раздел математики , который является разновидностью геометрии , посвященной изучению качественных свойств геометрических фигур, не зависящих от расстояний , величин углов , площадей и объёмов .

В отличие от геометрии, эквивалентными в топологии, по определению, считаются те фигуры, которые получаются друг из друга произвольной обратимой непрерывной деформацией. Такие деформации называются гомеоморфизмами . Например, сглаживая углы треугольника , его можно деформировать в круг , а затем, заостряя края круга, — в пятиугольник или любой другой выпуклый многоугольник, поэтому с точки зрения топологии все эти фигуры эквивалентны. Кроме того, кружка с ручкой и бублик гомеоморфны. Напротив, бублик и шар , а также кольцо и круг по некоторым причинам не гомеоморфны.

Первостепенной задачей топологии является задача классификации . Решение данной задачи требует топологических инвариантов , то есть таких характеристик пространства, которые сохраняются при гомеоморфизме. Изучение подобных характеристик послужило важным стимулом для развития топологии и восходит к открытию тождества Эйлера — соотношения между количествами вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника : В ${\displaystyle -}$ Р ${\displaystyle +}$ Г ${\displaystyle =2}$ . Объяснение этого тождества с точки зрения топологии в том, что выражение слева от равенства является топологическим инвариантом, а все выпуклые многогранники гомеоморфны между собой (и гомеоморфны шару). Впоследствии тождество Эйлера позволило установить топологический инвариант совершенно произвольного топологического пространства — его эйлерову характеристику . В частности, этот инвариант позволяет отличить шар от бублика и круг от кольца.

Основными объектами исследования в топологии являются топологические пространства , которые в первом приближении представляют собой классы эквивалентности по описанному выше отношению (то есть гомеоморфности) геометрических фигур и произвольных метрических пространств .

За счёт того, что основные понятия топологии не требуют для своего определения никаких классических геометрических понятий, эта теория применяется к объектам, далёким от геометрических, проникает практически во все области математики и допускает многочисленные приложения.

Этимология

Слово «топология» происходит от сочетания двух древнегреческих существительных: τόπος — место и λόγος — слово, учение. Буквально оно означает изучение места ( пространства ) или локальное исследование . Таким образом, топология занимается определением того, что такое пространство и каковы его свойства.

Термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга . Листинг определяет топологию так:

«Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин» .

Когда топология ещё только зарождалась ( XVIII — XIX века ), её называли геометрией размещения ( лат. geometria situs ) или анализом размещения ( лат. analysis situs ).

История

Топология берёт своё начало с изучения некоторых геометрических задач. Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера .

Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики.

Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века . Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу , Пуанкаре (цикл статей Analysis situs ), Александрову , Урысону , Брауэру .

Разделы топологии

Общая топология

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии о непрерывности в чистом виде. Она посвящена, в частности, исследованию фундаментальных топологических свойств, таких как связность и компактность .

Маломерная топология

Маломерная топология — раздел топологии, сосредоточенный в основном вокруг многообразий малой размерности, то есть узлов , кос , поверхностей , трёхмерных и четырёхмерных многообразий.

Алгебраическая топология

Алгебраическая топология — раздел топологии о непрерывности с использованием алгебраических объектов , вроде гомотопических групп и гомологий .

Дифференциальная топология

Дифференциальная топология — раздел топологии о гладких многообразиях с точностью до диффеоморфизма и их включениях (размещениях) в других многообразиях.

Вычислительная топология

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности . Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.

См. также

• Топологическое пространство
• Глоссарий общей топологии

Примечания

Литература

• Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. — М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», Вып. 21).
• Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. — Изд. 3-е. — М.: ЛЕНАНД, 2015
• Васильев В. А. Топология для младшекурсников. — М.: МЦНМО, 2014
• Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. — 2009.
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. — 2007.
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983.
• / Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).. — М. : Наука, 1981. — Т. 2. — С. 98—99. (недоступная ссылка)
• Милнор Дж. , Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. — М.: Мир, 1972.
• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979.
• Прасолов В. В. — М.: МЦНМО, 1995.
• Стюарт Я. // Квант , № 7, 1992.
• Гарднер М. Нульсторонний профессор — рассказ, описывающий предмет топологии в занимательном ключе

Ссылки

• Раздел физико-математической библиотеки сайта «Мир математических уравнений»
• // Лекция математика Сергея Ландо в проекте ПостНаука (13.04.2013)