Матричным элементом квантово-механического оператора ${\displaystyle {\hat {A}}}$ называется выражение

${\displaystyle \langle i|{\hat {A}}|j\rangle =\int \psi _{i}^{*}{\hat {A}}\psi _{j}d\tau }$ ,

где ${\displaystyle \psi _{i(j)}}$ - две различные волновые функции , которые обычно выбираются из определенного ортонормированного базиса , а интегрирование проводится по пространству, определенном всеми переменными системы.

Матричный элемент произведения двух операторов

Если ${\displaystyle |I\rangle }$ составляют ортонормированный базис, то, воспользовавшись условием полноты базиса, можно записать

${\displaystyle \langle i|{\hat {A}}{\hat {B}}|j\rangle =\sum _{k}\langle i|{\hat {A}}|k\rangle \langle k|{\hat {B}}|j\rangle }$ ,

что соответствует правилу умножения матриц.

Значение в квантовой механике

Исторически понятие матричного элемента сложилось в период развития матричной , в рамках которой описывалась целиком бесконечным набором возможных состояний, взаимодействие между которыми задавалась посредством определенной матрицы, тоже в общем бесконечного ранга. После открытия уравнения Шредингера , были выведены приведенные выше общие правила для получения матричных элементов.

Матричными элементами в основном описываются амплитуды вероятности перехода квантово-механической системы из одного состояния в другое.