⟨	∣	⟩
bra		ket
бра		кет
ско		бка

Квантовая механика
История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Клейна — Гордона Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Бра и кет ( англ. bra-ket < bracket скобка ) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний . Называется также обозначениями Дирака . В матричной механике данная система обозначений является общепринятой. Данная система обозначений представляет собой не более чем иные текстуальные обозначения для векторов, ковекторов, билинейных форм и скалярных произведений, и потому применима (хотя и не так часто используется) в линейной алгебре вообще. В тех случаях, когда данная система обозначений используется в линейной алгебре, обычно речь идет о бесконечно-мерных пространствах и/или о линейной алгебре над комплексными числами.

Определение и использование

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ элементы которого называются « векторы состояния » ( «кет-векторы» ) и обозначаются символом ${\displaystyle |\psi \rangle }$ .

Каждому кет-вектору ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ то есть из ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}.}$

Бра-вектор ${\displaystyle \langle \psi |}$ из пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ определяется соотношением:

${\displaystyle \langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)}$ , для любого кет-вектора ${\displaystyle |\rho \rangle .}$

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ или ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде ${\displaystyle \langle \varphi |\psi \rangle ;}$ две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.}$ На векторы, описывающие состояния системы, когда это возможно, накладывается условие нормировки ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1.}$

Линейные операторы

Если ${\displaystyle A\colon H\to H}$ — линейный оператор из ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle H}$ , то действие оператора ${\displaystyle A}$ на кет-вектор ${\displaystyle |\psi \rangle }$ записывается как ${\displaystyle A|\psi \rangle .}$

Для каждого оператора ${\displaystyle A}$ и бра-вектора ${\displaystyle \langle \varphi |}$ вводится функционал ${\displaystyle (\langle \varphi |A)}$ из пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*},}$ то есть бра-вектор, умноженный на оператор ${\displaystyle A}$ , который определяется равенством:

${\displaystyle {\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},}$ для любого вектора ${\displaystyle |\psi \rangle .}$

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто ${\displaystyle \langle \varphi |A|\psi \rangle .}$

Это выражение называется свёрткой оператора ${\displaystyle A}$ с бра-вектором ${\displaystyle \langle \varphi |}$ и кет-вектором ${\displaystyle |\psi \rangle .}$ Значение этого выражения есть скаляр ( комплексное число ).

В частности, матричный элемент оператора ${\displaystyle A}$ в определённом базисе (в тензорных обозначениях — ${\displaystyle A_{kl}}$ ) записывается в обозначениях Дирака как ${\displaystyle \langle k|A|l\rangle ,}$ а среднее значение наблюдаемой (билинейная форма) на состоянии ${\displaystyle \psi }$ — как ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle .}$

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

${\displaystyle |{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,}$

${\displaystyle \langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.}$

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,}$ где ${\displaystyle H}$ — гамильтониан , а ${\displaystyle E}$ — скаляр ( уровень энергии ).

Отличия бра-кет-обозначений от традиционных

В математике употребляется обозначение « эрмитового » скалярного произведения ${\displaystyle \langle \varphi ,\;\psi \rangle }$ в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным , но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору ${\displaystyle i|\psi \rangle }$ будет являться бра-вектор ${\displaystyle -i\langle \psi |}$ (где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица ). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице .

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния ${\displaystyle \psi }$ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как ${\displaystyle e_{k},}$ в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: ${\displaystyle \langle k|\;,\;|l\rangle .}$ Этим они похожи на тензорные обозначения , но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Математические свойства

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, ${\displaystyle {\mathcal {H}}=R^{n},}$ то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера ${\displaystyle N\times 1}$ , бра-векторы — размера ${\displaystyle 1\times N}$ , операторы — размера ${\displaystyle N\times N}$ , где ${\displaystyle N}$ — количество состояний квантовой системы ( размерность пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды ) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_{N}\end{pmatrix}},}$

где

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}}$

Запись типа ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева ${\displaystyle \langle ,}$ кет-вектор — скобку справа ${\displaystyle \rangle .}$ Вводится также произведение в «неестественном» порядке — ${\displaystyle |\varphi \rangle \langle \psi |}$ (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор . Оператор ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \varphi |}$ имеет ранг 1 и является тензорным произведением ${\displaystyle |\psi \rangle }$ и ${\displaystyle \langle \varphi |.}$ Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях . В частности, оператор ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ (при нормировке ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ) является проектором на состояние ${\displaystyle \psi }$ , точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Имеет место ассоциативность :

${\displaystyle \langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,}$

${\displaystyle |\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi }}\rangle }$

и т. д.

Литература

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М. : МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М. : Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М. : Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М. : Мир, 1984. — 360 с.