Interested Article - Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , $\ldots$ ( члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на ненулевое фиксированное число $q$ для данной последовательности ( знаменатель прогрессии). При этом $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$ .

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей , если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Произведением первых $n$ членов геометрической прогрессии $\left\{b_{n}\right\}$ называется произведение от $b_{1}$ до $b_{n}$ , то есть выражение вида $\prod \limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\cdot \ldots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_{n}.$ Обозначение: $P_{n}$ .

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей ; если меньше предыдущего, то убывающей .

Геометрическая прогрессия возрастает , если выполняется один из наборов условий:

b_{1}>0\quad

и

\quad q>1

или

b_{1}<0\quad

и

\quad 0<q<1

.

Геометрическая прогрессия убывает , если выполняется один из наборов условий:

b_{1}<0\quad

и

\quad q>1

или

b_{1}>0\quad

и

\quad 0<q<1

.

Доказательство

Запишем разность между $\left(n+1\right)$ -м и $n$ -м членами геометрической прогрессии по формуле общего члена:

b_{n+1}-b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}\cdot \left(q-1\right).

Для возрастающей прогрессии эта разность должна быть положительной независимо от номера $n$ , а для убывающей — отрицательной. Условия, выписанные в доказываемом утверждении, как раз и гарантируют, что разность членов $b_{n+1}$ и $b_{n}$ будут иметь определённый знак. ■

При $q<0$ — знакочередующейся , при $q=1$ — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству :

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов .

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии , формулировка которого звучит следующим образом:

Последовательность положительных чисел тогда и только тогда является геометрической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.

Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим $b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}$ , где $n\geqslant 2$ .

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим $b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}$ , где $j=0$ либо $j=1$ и $n\geqslant 2$ .

Графическая интерпретация

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами $\left(n;\,b_{n}\right)$ , где $n$ — номер (натуральное число), а $b_{n}$ — $n$ -й член некоторой геометрической прогрессии, у которой $q>0$ , то все точки будут принадлежать графику функции:

y=b_{1}\cdot q^{x-1}={\frac {b_{1}}{q}}\cdot q^{x},

где $q$ — это знаменатель геометрической прогрессии, а $b_{1}$ — её первый член . Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность $\left\{b_{n}\right\}$ являлась геометрической прогрессией при $q>0$ , необходимо и достаточно, чтобы $b_{n}$ являлась показательной функцией (от $n$ ), заданной на множестве натуральных чисел.

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов , где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата ^:8—9 .
Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске .
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512, 1024 , 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
$\pi$ , $\pi$ , $\pi$ , $\pi$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

$q={\dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

$q={\sqrt[{n-k}]{\dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .$

Свойства членов геометрической прогрессии

Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

b_{n}=b_{n-1}\cdot q

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

Формула общего ( $n$ -го) члена:

b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}.

Обобщённая формула общего члена:

b_{n}=b_{k}\cdot q^{n-k},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .

$b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$ , если $1<i<n$ .

Доказательство

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.$

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию .

Доказательство

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$ .
В нашем случае
$a_{1}=\log(b_{1})$ ,
$d=\log(q)$ .

$b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$ , если $1<i<n$ .

Доказательство

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.$

Пусть $a_{k},a_{l},a_{m}$ — соответственно $k$ -й, $l$ -й, $m$ -й члены геометрической прогрессии, где $k,\,l,\,m\in \mathbb {N}$ . Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии :
$b_{k}^{l-m}\cdot b_{l}^{m-k}\cdot b_{m}^{k-l}=1.$

Произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

$P_{n}=\left(b_{1}\cdot b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.$

Доказательство

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Раскроем произведение $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}$ : $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ Выражение $0+1+2+\ldots +(n-1)$ представляет собой арифметическую прогрессию с $a_{1}=0$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ Откуда $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1}b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.$

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k -го члена, и заканчивая n -м членом, можно рассчитать по формуле

$P_{k,n}={\dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Доказательство

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии

$S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\dfrac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Доказательство

Доказательство через сумму:

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.$

То есть $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}$ или

$\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.$

Откуда $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Доказательство индукцией по $n$ .

Пусть $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

При $n=1$ имеем: $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.$

При $n\rightarrow n+1$ имеем: $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма $n$ первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к неограниченно приближается с ростом $n$ . Сумма всех членов убывающей прогрессии:

\left|q\right|<1

, то

b_{n}\to 0

при

n\to +\infty

, и

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

при

n\to +\infty

.

Доказательство

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}}{1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}.$ Если $\left|q\right|<1,$ то $q^{n}\to 0$ при $n\to \infty .$ Поэтому $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ Следовательно $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Свойства суммы геометрической прогрессии

$b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$
$S_{n}=\sigma _{n}\cdot b_{1}b_{n}$

где $\sigma _{n}$ — сумма обратных величин, то есть $\sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}$ .

Свойства произведения геометрической прогрессии

$P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot {q}^{\frac {n\left(n-1\right)}{2}}$
$P_{n}={\left({\dfrac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}$ , где $\sigma _{n}$ — сумма обратных величин, то есть $\sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}$ .
$b_{n+1}={\dfrac {P_{n+1}}{P_{n}}}$
$P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}$
${\sqrt[{k}]{P_{k}^{l-m}}}\cdot {\sqrt[{l}]{P_{l}^{m-k}}}\cdot {\sqrt[{m}]{P_{m}^{k-l}}}=1$

См. также

Примечания

от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей , только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны .
↑ Е. В. Якушева, А. В. Попов, О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Геометрическая прогрессия и её свойства // Экзаменационные вопросы и ответы. Алгебра и начала анализа. 9 и 11 выпускные классы: учебное пособие : книга. — М. : АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2004. — С. 48. — 416 с. — 8000 экз. — ББК 22.12я72 . — УДК . — ISBN 5-94776-013-4 .
Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает .
Роу С. . — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. 19 мая 2017 года.