Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел ${\displaystyle b_{1}}$ , ${\displaystyle b_{2}}$ , ${\displaystyle b_{3}}$ , ${\displaystyle \ldots }$ ( члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на ненулевое фиксированное число ${\displaystyle q}$ для данной последовательности ( знаменатель прогрессии). При этом ${\displaystyle b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}$ .

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей , если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Произведением первых ${\displaystyle n}$ членов геометрической прогрессии ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ называется произведение от ${\displaystyle b_{1}}$ до ${\displaystyle b_{n}}$ , то есть выражение вида ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\cdot \ldots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_{n}.}$ Обозначение: ${\displaystyle P_{n}}$ .

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

${\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}$

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей ; если меньше предыдущего, то убывающей .

Геометрическая прогрессия возрастает , если выполняется один из наборов условий:

${\displaystyle b_{1}>0\quad }$ и ${\displaystyle \quad q>1}$

или

${\displaystyle b_{1}<0\quad }$ и ${\displaystyle \quad 0<q<1}$ .

Геометрическая прогрессия убывает , если выполняется один из наборов условий:

${\displaystyle b_{1}<0\quad }$ и ${\displaystyle \quad q>1}$

или

${\displaystyle b_{1}>0\quad }$ и ${\displaystyle \quad 0<q<1}$ .

При ${\displaystyle q<0}$ — знакочередующейся , при ${\displaystyle q=1}$ — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству :

${\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов .

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии , формулировка которого звучит следующим образом:

Последовательность положительных чисел тогда и только тогда является геометрической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.

Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим ${\displaystyle b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}$ , где ${\displaystyle n\geqslant 2}$ .

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим ${\displaystyle b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}$ , где ${\displaystyle j=0}$ либо ${\displaystyle j=1}$ и ${\displaystyle n\geqslant 2}$ .

Графическая интерпретация

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами ${\displaystyle \left(n;\,b_{n}\right)}$ , где ${\displaystyle n}$ — номер (натуральное число), а ${\displaystyle b_{n}}$ — ${\displaystyle n}$ -й член некоторой геометрической прогрессии, у которой ${\displaystyle q>0}$ , то все точки будут принадлежать графику функции:

${\displaystyle y=b_{1}\cdot q^{x-1}={\frac {b_{1}}{q}}\cdot q^{x},}$

где ${\displaystyle q}$ — это знаменатель геометрической прогрессии, а ${\displaystyle b_{1}}$ — её первый член . Это означает, что справедлива теорема:

Для того чтобы последовательность ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ являлась геометрической прогрессией при ${\displaystyle q>0}$ , необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle b_{n}}$ являлась показательной функцией (от ${\displaystyle n}$ ), заданной на множестве натуральных чисел.

Примеры

• Последовательность площадей квадратов , где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата ^:8—9 .
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске .
• 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512, 1024 , 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• ${\displaystyle \pi }$ , ${\displaystyle \pi }$ , ${\displaystyle \pi }$ , ${\displaystyle \pi }$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

• ${\displaystyle q={\dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$

• ${\displaystyle q={\sqrt[{n-k}]{\dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}$

Свойства членов геометрической прогрессии

• Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

${\displaystyle b_{n}=b_{n-1}\cdot q}$

• Формула общего ( ${\displaystyle n}$ -го) члена:

${\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}.}$

• Обобщённая формула общего члена:

${\displaystyle b_{n}=b_{k}\cdot q^{n-k},{\text{где }}k<n;\;\forall n,\forall k\in \mathbb {N} .}$

• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}$ , если ${\displaystyle 1<i<n}$ .

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию .

• ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}$ , если ${\displaystyle 1<i<n}$ .

Пусть ${\displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}}$ — соответственно ${\displaystyle k}$ -й, ${\displaystyle l}$ -й, ${\displaystyle m}$ -й члены геометрической прогрессии, где ${\displaystyle k,\,l,\,m\in \mathbb {N} }$ . Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии :

${\displaystyle b_{k}^{l-m}\cdot b_{l}^{m-k}\cdot b_{m}^{k-l}=1.}$

• Произведение первых ${\displaystyle n}$ членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  ${\displaystyle P_{n}=\left(b_{1}\cdot b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.}$

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k -го члена, и заканчивая n -м членом, можно рассчитать по формуле

  ${\displaystyle P_{k,n}={\dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

• Сумма ${\displaystyle n}$ первых членов геометрической прогрессии

  ${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\dfrac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}$

• Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма ${\displaystyle n}$ первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к неограниченно приближается с ростом ${\displaystyle n}$ . Сумма всех членов убывающей прогрессии:

${\displaystyle \left|q\right|<1}$ , то ${\displaystyle b_{n}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$ , и

${\displaystyle S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}}$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$ .

Свойства суммы геометрической прогрессии

• ${\displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}$
• ${\displaystyle S_{n}=\sigma _{n}\cdot b_{1}b_{n}}$

где ${\displaystyle \sigma _{n}}$ — сумма обратных величин, то есть ${\displaystyle \sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}}$ .

Свойства произведения геометрической прогрессии

• ${\displaystyle P_{n}={b}_{1}^{n}\cdot {q}^{\frac {n\left(n-1\right)}{2}}}$
• ${\displaystyle P_{n}={\left({\dfrac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}}$ , где ${\displaystyle \sigma _{n}}$ — сумма обратных величин, то есть ${\displaystyle \sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}}$ .
• ${\displaystyle b_{n+1}={\dfrac {P_{n+1}}{P_{n}}}}$
• ${\displaystyle P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{P_{k}^{l-m}}}\cdot {\sqrt[{l}]{P_{l}^{m-k}}}\cdot {\sqrt[{m}]{P_{m}^{k-l}}}=1}$

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда

Примечания