Критерий оптимальности (критерий оптимизации) — характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. В одной задаче может быть установлено несколько критериев оптимальности.

Оптимизационные задачи

Оптимизация — процесс нахождения наилучшего или оптимального решения какой-либо задачи (набора параметров ) при заданных критериях. Характеризуя объект, сложно выбрать такой один критерий, который бы обеспечил всю полноту требований. А стремление к всеобъемлющему решению и назначение большого числа критериев сильно усложняет задачу. Поэтому в разных задачах количество критериев может быть различным. Задачи однокритериальной оптимизации (с одним критерием оптимизации) иногда называют скалярными , а многокритериальной — векторной оптимизацией . Кроме того, количество параметров, характеризующих оптимизируемый объект (задачу), также может быть различным, причём параметры могут меняться непрерывно или дискретно ( дискретная оптимизация).

В предельном случае решение практических задач можно свести к задаче двухкритериальной оптимизации, критериями в которой являются «цена» и «качество» (т. н. «цена-качество»). Это наглядно позволяет учесть и экономические (цена), и производственно-технические ( качество продукции ) требования. Сведение задачи к однокритериальной требует введения существенных допущений, но облегчает окончательный выбор.

Оптимизационные задачи активно используются там, где важно получение высокоэффективного результата, например, в экономике , технике , информатике . Простейшим примером технико-экономической оптимизационной задачи может быть выбор диаметра трубопровода , по которому насосом перекачивается жидкость . При уменьшении диаметра трубы снижается её стоимость, но увеличиваются затраты энергии на перекачку жидкости из-за возросшего гидравлического сопротивления .

Примером задачи многопараметрической (двухпараметрической) оптимизации будет задача выбора диаметра трубопровода с горячей жидкостью или паром, так как одновременно выбирается диаметр трубопровода и толщина тепловой изоляции при постоянстве остальных. При этом оба параметра дискретны, так как существуют как сортамент труб , так и типовые параметры готовых теплоизоляционных сегментов .

Оптимизации подлежат параметры многих технологических процессов , объёмы производства предприятий , уровни надёжности продукции и мн. др.

Как правило, решение оптимизационной задачи распадается на следующие этапы:

• анализ ситуации и формулировка задачи ;
• определение параметров решения, подлежащих оптимизации (то есть тех, которые могут быть изменены в ходе решения);
• установление допустимой области существования параметров, то есть ограничений, налагаемых на параметры и их сочетания;
• выбор и оценка влияния внешних факторов , учитываемых в ходе решения;
• выбор критериев оптимальности;
• построение целевой функции ( математической модели ), которая выдавала бы показатели, соответствующие выбранным критериям;
• выбор математического метода оптимизационных расчётов;
• проведение расчётов и оценка полученных решений по выбранным критериям;
• окончательное принятие решения с учётом неопределённости и риска .

Следует подчеркнуть, что оптимизация в отличие от обычного сравнения вариантов предполагает рассмотрение всех решений, попадающих в область допустимых значений параметров. Те решения, в процессе поиска которых не проводился полный просмотр возможных вариантов, обычно называют «рациональными».

Критерии оптимальности

Правильный выбор критериев играет существенную роль в выборе оптимального решения. В теории принятия решений не найдено общего метода выбора критериев оптимальности. В основном руководствуются опытом или рекомендациями. Наиболее изучен вопрос для финансово-экономических задач , в которых зачастую применяется единственный критерий — максимум , прибыли , либо максимум рентабельности , либо минимум срока окупаемости и т. п. Применение для технических задач только одного критерия (например, максимум уровня безопасности , минимум потребления энергии , минимум экологического ущерба ) часто приводит к абсурдным результатам, выходящим за область допустимых решений, поэтому обычно сочетается с экономическими критериями (например, минимум стоимости или максимум дохода ).

Большие сложности вызывают «неисчисляемые» критерии оптимальности, которые касаются, например, гуманитарных вопросов, художественного впечатления, изменения ландшафта и т. п. (например, максимум удобства, красоты). Для учёта таких критериев могут применяться экспертные оценки .

Наиболее разработаны методы однокритериальной оптимизации, в большинстве случаев позволяющие получить однозначное решение. В задачах многокритериальной оптимизации абсолютно лучшее решение выбрать невозможно (за исключением частных случаев), так как при переходе от одного варианта к другому, как правило, улучшаются значения одних критериев, но ухудшаются значения других. Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным. Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Поэтому невозможно говорить об объективном единственном решении такой задачи.

Часто многокритериальную задачу сводят к однокритериальной применением «свёртки» критериев в один комплексный, называемый целевой функцией (или функцией полезности). Например, в конкурсных процедурах выбора подрядчиков и поставщиков целевая функция рассчитывается на основе балльных критериев. В ряде случаев успешно применяются ранжирование и последовательное применение критериев оптимальности, метод анализа иерархий .

Иногда общим методом для многокритериальных задач называют оптимальность по Парето , которое позволяет найти ряд «неулучшаемых» решений, однако этот метод не гарантирует глобальной оптимальности решений. Менее известна «оптимальность по Слейтеру».

Нормирование критериев (скалярное ранжирование)

Для удобства и однозначности восприятия критерии K _i (где i = 1,…, m ; m — число критериев) нормируют (скаляризуют), то есть обычно приводят к следующему виду:

• K _i ≥ 0;
• критерии K _i убывают с улучшением решения, с ростом качества проектируемого объекта (встречается и обратное требование).

Например, минимальная цена, потери энергии (равны 1- КПД );

• предпочтительно критерии приводить к безразмерному виду.

например, относительная цена (по отношению к цене самого дорогого варианта);

• как следствие, наилучшее значение критерия равно нулю. Решения, у которого все критерии нулевые ( K _i = 0), соответствует идеальному конечному результату ( ИКР ), когда объекта нет, но его функция выполняется.

См. также

• Оптимизация (математика)
• Теория принятия решений
• Целевая функция
• Показатель качества
• Линейное программирование
• Дискретное программирование
• Эффективность по Парето
• Скалярное ранжирование

Примечания

Литература

1. Вентцель Е.С. . — М. : Наука, 1988. — С. .
2. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления. — СПб. : Питер, 2004. — С. 256. — ISBN 5-94723-514-5 .
3. Штойер Р. . — М. : Радио и связь, 1992. — С. .