Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей , решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу . Эта задача не является парадоксом , так как не содержит в себе противоречия.

Задача впервые была опубликована (вместе с решением) в 1975 году в журнале «The American Statistician» профессором Калифорнийского университета Стивом Селвином. Она стала популярной после появления в журнале «Parade» в 1990 году .

Формулировка

Задача формулируется как описание игры , основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь продюсера и первого ведущего этой передачи . Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).

Наиболее популярной является задача с дополнительным условием — участнику игры заранее известны следующие правила :

• автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
• ведущий знает, где находится автомобиль;
• ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
• если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть (то есть, игрок указал на верную дверь, и за обеими оставшимися дверями — козы), он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

Разбор

Дверь 1	Дверь 2	Дверь 3	Результат, если менять выбор	Результат, если не менять выбор
Авто	Коза	Коза	Коза	Авто
Коза	Авто	Коза	Авто	Коза
Коза	Коза	Авто	Авто	Коза

Для стратегии выигрыша важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдёт с вероятностью 2 ⁄ 3 , так как изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3. Иными словами, если вероятность того, что выигрыш за изначально выбранной дверью равна 1 ⁄ 3 , то вероятность обратного — 2 ⁄ 3 , а ведущий устраняет неопределённость, не меняя при этом вероятность.

Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны 1 ⁄ 2 , вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно: хотя возможностей выбора действительно остаётся две, эти возможности (с учётом предыстории) не являются равновероятными. Это так, поскольку изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключёнными.

Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла .

Следует иметь в виду, что первый выбор двери игроком влияет на то, из каких двух оставшихся дверей будет выбирать Монти.

Ещё более наглядной ситуация с дверями становится, если представить, что дверей не 3, а, скажем, 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок, и ещё одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны 1 ⁄ 2 . Если мы меняем дверь, то проигрываем только в том случае, если с самого начала выбрали призовую дверь, вероятность чего 1:1000. Выигрываем же мы при смене двери в том случае, если наш изначальный выбор был не правильным, а вероятность этого — 999 из 1000. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения соответственно 2 ⁄ 3 , а не 999 ⁄ 1000 .

Другой способ рассуждения — замена условия эквивалентным. Представим, что, вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается, за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 % и стратегия её выбора предпочтительна.

Ещё более наглядное рассуждение — заранее зная полные условия игры (то, что выбор предложат поменять) и заранее с этими условиями согласившись, игрок фактически в первый раз выбирает дверь, за которой приза, по его мнению, нет (и может ошибиться с вероятностью 1 ⁄ 3 ). Одновременно, косвенно он указывает на оставшиеся две двери, за одной из которых приз, по его мнению, есть, что даёт шанс на выигрыш 2 ⁄ 3 . Это эквивалентно игре, в которой ведущий бы в самом начале однократно предлагал игроку исключить одну «лишнюю» дверь и гарантированно открыть две оставшиеся.

Четвёртый вариант: если игрок выбрал автомобиль (вероятность этого 1 ⁄ 3 ), Монти обязательно предложит смену, и она ведёт к козе. А если игрок выбрал козу (вероятность 2 ⁄ 3 ) — то к автомобилю. Отсюда и апостериорные вероятности 1 ⁄ 3 , если не сменить, и 2 ⁄ 3 , если сменить. А равновероятное открытие левой и правой двери, если игрок всё-таки указал на автомобиль, не даёт извлечь информацию из факта, что открыта левая или правая дверь.

Другое поведение ведущего

Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения. Если не сказано противное, призы равновероятно расположены за дверями, ведущий знает, где автомобиль, а если есть выбор — равновероятно выбирает из двух коз. Если ведущий влияет на вероятности, а не следует жёсткой процедуре, то его цель — уберечь автомобиль от испытуемого. Цель испытуемого, соответственно, его забрать.

Вариант: задача трёх узников

Задача предложена Мартином Гарднером в 1959 году.

Трое заключённых, A, B и С, заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключённый A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключённого, кто точно будет казнён: « Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи имя B или C ».

Стражник говорит заключённому A, что заключённый B будет казнён. Заключённый A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала ½ , а не ⅓ , как была до этого. Заключённый A тайно говорит заключённому С, что B будет казнён. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А — ⅓ , а его вероятность выживания возросла до 2 ⁄ 3 . Как такое может быть?

Разбор

Знакомый с парадоксом Монти Холла теперь знает, что прав C и не прав A.

• Помилуют A, стражник сказал B — вероятность 1 ⁄ 6 .
• Помилуют A, стражник сказал C — вероятность тоже 1 ⁄ 6 .
• Помилуют B, стражник сказал C — вероятность ⅓ .
• Помилуют C, стражник сказал B — вероятность тоже ⅓ .

Так что фраза «Казнят B» оставляет 1-й и 4-й варианты — то есть 2 ⁄ 3 вероятности, что помилуют C, и ⅓ , что A.

Люди думают, что вероятность ½ , потому что они игнорируют суть вопроса, который заключённый A задаёт стражнику. Если бы стражник мог ответить на вопрос «Будет ли заключенный B казнён?», тогда в случае положительного ответа вероятность казни А действительно бы уменьшалась с 2 ⁄ 3 до ½ .

К вопросу можно подойти и с другой стороны: если A помилуют, стражник скажет любое имя наугад; если A казнят — стражник скажет того, кого казнят вместе с A. Так что вопрос не даст A никакого дополнительного шанса на помилование.

См. также

• Задача трёх узников
• Условная вероятность
• Теорема Байеса
• Парадокс двух конвертов
• Парадокс с полом ребёнка
• Парадокс Бертрана (вероятность)

Примечания

Ссылки

• на сайте
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• на сайте телешоу
• , в котором используется парадокс Монти Холла
• от 4 марта 2016 на Wayback Machine Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета
• (на сайте )
• (русск.)

Литература

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — М. : Высшее образование. 2005
• Gnedin, Sasha (недоступная ссылка) Журнал The Mathematical Intelligencer , 2011
• Савант, Мэрилин вос . Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990 .
• Савант, Мэрилин вос . Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006 .
• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist , 1992, № 2.
• Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life . Cambridge University Press, New York, 2004. ( ISBN 0-521-54036-4 )

В другом языковом разделе есть более полная статья (англ.) . Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода