Основное свойство линейных функций:
приращение
функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением
прямой пропорциональности
.
Графиком
линейной функции является
прямая
, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.
В случаях
линейные функции называются
однородными
(это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от
—
неоднородных линейных функций
.
Угол
между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями
и
определяется равенством:
где
то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при
и прямые параллельны.
где
— некоторые фиксированные числа.
Областью определения линейной функции является всё
-мерное пространство переменных
вещественных
или
комплексных
.
При
линейная функция называется
однородной
, или
линейной формой
.
Если все переменные
и коэффициенты
— вещественные числа, то графиком линейной функции в
-мерном пространстве переменных
является
-мерная
гиперплоскость
в частности при
— прямая линия на плоскости.
Абстрактная алгебра
Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства
над некоторым
полем
в это поле, то есть для такого отображения
, что для любых элементов
и любых
справедливо равенство
причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины
линейный функционал
и
линейная форма
— также означающие линейную
однородную
функцию определённого класса.
Алгебра логики
Булева функция
называется линейной, если существуют такие
, где
, что для любых
имеет место равенство:
.
Нелинейные функции
Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин
нелинейные функции
.
То же относится и к употреблению слова
нелинейные
в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например —
нелинейные дифференциальные уравнения
.
Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.
Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция
.
В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям
, где
, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае
и
.
Например, нелинейной зависимостью считают
для материала с упрочнением (см.
теория пластичности
).