Interested Article - Линейная функция

Примеры линейных функций.

Линейная функция функция вида

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности .

Графиком линейной функции является прямая , с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

  • В случаях линейные функции называются однородными (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от неоднородных линейных функций .

Свойства

  • ( угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс , и может быть найден по формуле .
  • При , прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс .
  • При , прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс .
  • При , прямая параллельна оси абсцисс .

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями и определяется равенством: где то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при и прямые параллельны.

  • является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат .
  • При , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция монотонна и невыпукла на всей области определения , производная и первообразная функции запишутся:

Обратная функция к :

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция переменных — функция вида

где — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё -мерное пространство переменных вещественных или комплексных . При линейная функция называется однородной , или линейной формой .

Если все переменные и коэффициенты — вещественные числа, то графиком линейной функции в -мерном пространстве переменных является -мерная гиперплоскость

в частности при — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства над некоторым полем в это поле, то есть для такого отображения , что для любых элементов и любых справедливо равенство

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция называется линейной, если существуют такие , где , что для любых имеет место равенство:

.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции . То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения . Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям , где , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае и . Например, нелинейной зависимостью считают для материала с упрочнением (см. теория пластичности ).

См. также

Источник —

Same as Линейная функция