Показательная функция — математическая функция ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ , где ${\displaystyle a}$ называется основанием степени , а ${\displaystyle x}$ — показателем степени .

• В вещественном случае основание степени ${\displaystyle a}$ — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число .
• В самом общем виде — ${\displaystyle u^{v}}$ , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e . Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание ${\displaystyle a}$ может быть представлено в виде степени числа е ( ${\displaystyle a=e^{\ln a}}$ ), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть ${\displaystyle a}$ — неотрицательное вещественное число, ${\displaystyle x}$ — рациональное число : ${\displaystyle x={\frac {m}{n}}}$ . Тогда ${\displaystyle a^{x}}$ определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

• Если ${\displaystyle x>0}$ , то ${\displaystyle a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ .
• Если ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle a\neq 0}$ , то ${\displaystyle a^{x}=1}$ .
  • Значение ${\displaystyle 0^{0}}$ не определено (см. Ноль в степени ноль ).
• Если ${\displaystyle x<0}$ и ${\displaystyle a>0}$ , то ${\displaystyle a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}}}}$ .
  • Значение ${\displaystyle a^{x}}$ при ${\displaystyle x<0,a=0}$ не определено.

Для произвольного вещественного показателя ${\displaystyle x}$ значение ${\displaystyle a^{x}}$ можно определить как предел последовательности

${\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n}}}$

где ${\displaystyle \{r_{n}\}}$ — последовательность рациональных чисел , сходящихся к ${\displaystyle x}$ . То есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }r_{n}=x}$

Свойства

Свойства возведения в степень:

• ${\displaystyle a^{0}=1}$
• ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}}$
• ${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy}}$
• ${\displaystyle (ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}}$
• ${\displaystyle a^{x}}$ / ${\displaystyle b^{x}}$ = ${\displaystyle (a/b)^{x}}$

Промежутки монотонности:

При ${\displaystyle a>1}$ показательная функция всюду возрастает, причём:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}$ (для всякого ${\displaystyle n}$ )
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}$

При ${\displaystyle 0<a<1}$ функция, соответственно, убывает, причём:

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}$ (для всякого ${\displaystyle n}$ )
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=0}$

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной . Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги .

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию , обратную показательной:

${\displaystyle f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x}$ (логарифм ${\displaystyle x}$ по основанию ${\displaystyle a}$ )

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём ${\displaystyle a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}}$ (такое число ${\displaystyle a}$ , производная показательной функции которого равна самой функции):

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\,dx}$

Возможность определения ${\displaystyle a_{0}}$ легко увидеть после сокращения на ${\displaystyle a_{0}^{x}}$ :

${\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx}}$

Выбирая ${\displaystyle dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}}$ , окончательно получим число Эйлера :

${\displaystyle a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Отметим, что функцию ${\displaystyle e^{x}}$ можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

Откуда имеем более точное приближение:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$

Единственность числа ${\displaystyle e}$ легко показать, варьируя ${\displaystyle e^{x}}$ . Действительно, если ${\displaystyle e_{1}^{x}}$ пройдёт где-то выше, чем ${\displaystyle e^{x}}$ , то на том же промежутке найдётся область, где ${\displaystyle (e_{1}^{x})'<e^{x}}$ .

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма ${\displaystyle \ln \,x:e^{\ln x}=x}$ , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x}}$ , откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

${\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x}}$

Неопределённый интеграл:

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$

Потенцирование и антилогарифм

Потенцирование (от нем. potenzieren ) — нахождение числа по известному значению его логарифма , то есть решение уравнения ${\displaystyle \log _{a}x=b}$ . Из определения логарифма вытекает, что ${\displaystyle x=a^{b}}$ , таким образом, возведение ${\displaystyle a}$ в степень ${\displaystyle b}$ может быть названо другими словами «потенцированием ${\displaystyle b}$ по основанию ${\displaystyle a}$ », или вычислением показательной функции от ${\displaystyle b}$ .

Антилогарифм числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании ${\displaystyle a}$ ) равен числу ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle \operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.}$

Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году . Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах , логарифмических линейках , микрокалькуляторах . Например, для извлечения кубического корня из числа ${\displaystyle a}$ по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа ${\displaystyle a,}$ разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию ${\displaystyle e}$ или 10 называется натуральным или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом .

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: ${\displaystyle e^{x}}$ и ${\displaystyle 10^{x}}$ .

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots }$

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для ${\displaystyle e^{ix}}$ вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

${\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}}$

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма .

Пример: ${\displaystyle i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}}$ ; поскольку ${\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}}$ (главное значение логарифма), окончательно получаем: ${\displaystyle i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}}$ .

См. также

• Возведение в степень
• Ограничение складывания бумаги пополам
• Степенная функция
• Экспонента
• Двойная экспоненциальная функция

Примечания

Комментарии

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М. : Физматлит , 2001. — ISBN 5-9221-0156-0 ,. — ISBN 5-9221-0155-2 .
• Антилогарифм // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.