Интуициони́стская ло́гика — формальная система, отражающая некоторые способы рассуждений, приемлемые с точки зрения интуиционизма . Предложена А. Гейтингом в 1930 .

Основное отличие от привычного исчисления высказываний заключается в том, что отсутствует закон исключённого третьего .

Схемы аксиом 1-10 и правило «модус поненс» задают интуиционистское исчисление высказываний . Все 12 схем аксиом и все 3 правила вывода задают интуиционистское исчисление предикатов . Интуиционистское исчисление предикатов отличается от классического тем, что в последнем вместо схемы аксиом 10 используется схема аксиом ${\displaystyle (\neg \neg A)\to A}$ . .

Логические символы

${\displaystyle \land }$ (знак конъюнкции ), ${\displaystyle \lor }$ (знак дизъюнкции ), ${\displaystyle \to }$ (знак импликации ) и ${\displaystyle \neg }$ (знак отрицания ).

Схемы аксиом

Далее через ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ обозначаются произвольные пропозициональные формулы.

1. ${\displaystyle (A\to (B\to A))}$
2. ${\displaystyle ((A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C)))}$
3. ${\displaystyle (A\to (B\to (A\land B)))}$
4. ${\displaystyle ((A\land B)\to A)}$
5. ${\displaystyle ((A\land B)\to B)}$
6. ${\displaystyle (A\to (A\lor B))}$
7. ${\displaystyle (B\to (A\lor B))}$
8. ${\displaystyle ((A\to C)\to ((B\to C)\to ((A\lor B)\to C)))}$
9. ${\displaystyle ((A\to B)\to ((A\to (\neg B))\to (\neg A)))}$
10. ${\displaystyle ((\neg A)\to (A\to B))}$
11. ${\displaystyle \forall xA(x)\to A(y)}$
12. ${\displaystyle A(y)\to \exists xA(x)}$

Правила вывода

1. Modus ponens : ${\displaystyle {\frac {A,\;(A\to B)}{B}}}$ .
2. ${\displaystyle {\frac {C\to A(x)}{C\to \forall xA(x)}}}$ если ${\displaystyle x}$ не является свободной переменной в ${\displaystyle C}$ .
3. ${\displaystyle {\frac {A(x)\to C}{\exists xA(x)\to C}}}$ если ${\displaystyle x}$ не является свободной переменной в ${\displaystyle C}$ .

См. также

• Интуиционизм

Примечания

Литература

• Гейтинг А. Интуиционизм. — М., 1965.
• Клини С. К. Введение в метаматематику. — М., 1957.
• Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. — М., 1977.
• Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. — М., 1979.
• H. H. Непейвода . // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин . — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль , 2010. — 2816 с.