Прямоуго́льная (декартова) систе́ма координа́т — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными координатными осями на плоскости или в пространстве. Часто используемая система координат. Просто обобщается для пространств любой размерности.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названную так по имени Рене Декарта ), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную).

История

Впервые прямоугольную систему координат ввёл в науку Рене Декарт в своей работе « Геометрия » в 1637 году . Он первый применил понятие координат для исследования и решения многих геометрических задач. Поэтому прямоугольную систему координат обычно называют также декартова система координат (хотя современный термин прямоугольная система координат не во всём соответствует тому, что вкладывал в это понятие сам Декарт .

Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. Различие направлений на осях знаками «+» и «‒» было введено позднее его учениками.

Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии . Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы, касающиеся координатного метода, были впервые опубликованы уже после его смерти .

Системы декартовых координат при дальнейшем развитии науки сыграли важную роль в становлении дифференциального и интегрального исчисления , развитого Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем .

Двухкоординатное описание плоскости позднее было обобщено в понятие векторных пространств .

Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Применение координатного метода в трёхмерном пространстве впервые использовали Клеро и Эйлер в XVIII веке.

Единичные векторы были впервые использованы, по-видимому, Уильямом Гамильтоном и Джеймсом Максвеллом .

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат ${\displaystyle X'X}$ и ${\displaystyle Y'Y}$ . Оси координат пересекаются в точке ${\displaystyle O}$ , которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.

Положение точки ${\displaystyle A}$ на плоскости определяется двумя координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ . Координата ${\displaystyle x}$ равна длине отрезка ${\displaystyle OB}$ , координата ${\displaystyle y}$ — длине отрезка ${\displaystyle OC}$ в выбранных единицах измерения. Отрезки ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle OC}$ определяются линиями, проведёнными из точки ${\displaystyle A}$ параллельно осям ${\displaystyle Y'Y}$ и ${\displaystyle X'X}$ соответственно.

При этом координате ${\displaystyle x}$ приписывается знак минус, если точка ${\displaystyle B}$ лежит на луче ${\displaystyle OX'}$ (а не на луче ${\displaystyle OX}$ , как на рисунке). Координате ${\displaystyle y}$ приписывается знак минус, если точка ${\displaystyle C}$ лежит на луче ${\displaystyle OY'}$ . Таким образом, ${\displaystyle OX'}$ и ${\displaystyle OY'}$ являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось ).

Ось ${\displaystyle X'X}$ называется осью абсцисс ( лат. abscissus — букв. « отрезанный, отделённый » ), а ось ${\displaystyle Y'Y}$ — осью ординат ( лат. ordinatus — букв. « упорядоченный, установленный в определённом порядке » ). Координата ${\displaystyle x}$ называется абсцисса точки ${\displaystyle A}$ , координата ${\displaystyle y}$ — ордината точки ${\displaystyle A}$ .

Символически это записывают так:

${\displaystyle A(x,\;y)}$ ,

или:

${\displaystyle A=(x,\;y)}$ ,

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

${\displaystyle x_{A},x_{B}}$ ,

и т. д.

• В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси ${\displaystyle Y'Y}$ вверх, ось ${\displaystyle X'X}$ смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
• Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат ${\displaystyle X'X}$ и ${\displaystyle Y'Y}$ , называются координатными углами , четвертями или квадрантами <плоскости> (см. рис. 1).
  • Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
  • Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
  • Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
  • Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат ${\displaystyle OX}$ , ${\displaystyle OY}$ и ${\displaystyle OZ}$ . Оси координат пересекаются в точке ${\displaystyle O}$ , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно ) одинаковы для всех осей. ${\displaystyle OX}$ — ось абсцисс, ${\displaystyle OY}$ — ось ординат, ${\displaystyle OZ}$ — ось аппликат.

Положение точки ${\displaystyle A}$ в пространстве определяется тремя координатами ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ . Координата ${\displaystyle x}$ равна длине отрезка ${\displaystyle OB}$ , координата ${\displaystyle y}$ — длине отрезка ${\displaystyle OC}$ , координата ${\displaystyle z}$ — длине отрезка ${\displaystyle OD}$ в выбранных единицах измерения. Отрезки ${\displaystyle OB}$ , ${\displaystyle OC}$ и ${\displaystyle OD}$ определяются плоскостями, проведёнными из точки ${\displaystyle A}$ параллельно плоскостям ${\displaystyle YOZ}$ , ${\displaystyle XOZ}$ и ${\displaystyle XOY}$ соответственно.

Координата ${\displaystyle x}$ называется абсциссой точки ${\displaystyle A}$ ,

координата ${\displaystyle y}$ — ординатой точки ${\displaystyle A}$ ,

координата ${\displaystyle z}$ — аппликата ( лат. applicata — прилегающая) точки ${\displaystyle A}$ .

Символически это записывают так:

${\displaystyle A(x,\;y,\;z)}$ ,

или

${\displaystyle A=(x,\;y,\;z)}$ ,

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

${\displaystyle x_{A},\;y_{A},\;z_{A}}$ ,

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая , то есть имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка ${\displaystyle B}$ лежала не как на рисунке — на луче ${\displaystyle OX}$ , а на его продолжении в обратную сторону от точки ${\displaystyle O}$ (на отрицательной части оси ${\displaystyle OX}$ ), то абсцисса ${\displaystyle x}$ точки ${\displaystyle A}$ была бы отрицательной (минус расстоянию ${\displaystyle OB}$ ). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные , стандартные ) и левые . Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси ${\displaystyle OX}$ против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси ${\displaystyle OY}$ , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси ${\displaystyle OZ}$ ).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом .

Прямоугольная система координат в многомерном пространстве

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её ${\displaystyle n}$ ).

Для обозначения координат обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n}.}$

Для обозначения произвольной ${\displaystyle i}$ -й координаты из этого набора используют буквенный индекс:

${\displaystyle x_{i},}$

а нередко обозначение ${\displaystyle x_{i},}$ используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: ${\displaystyle i=1,2,3,\dots n}$ .

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет .

Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для ${\displaystyle n}$ -мерного евклидова пространства — ортант или гипероктант.

Прямоугольные координаты вектора

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца .

• Таким образом, например, координаты ${\displaystyle (x,y)}$ на рис. 1 являются координатами вектора ${\displaystyle {\vec {OA}}}$ .

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

• Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

Сложение и умножение на скаляр:

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\dots ,a_{n}+b_{n})}$ ,

или:

${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )_{i}=a_{i}+b_{i},}$

${\displaystyle c\ \mathbf {a} =(c\ a_{1},c\ a_{2},c\ a_{3},\dots ,c\ a_{n})}$ ,

или:

${\displaystyle (c\ \mathbf {a} )_{i}=c\ a_{i}.}$ ,

а отсюда и вычитание и деление на скаляр:

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},\dots ,a_{n}-b_{n})}$ ,

или:

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {b} )_{i}=a_{i}-b_{i},}$

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}={\Big (}{\frac {a_{1}}{\lambda }},{\frac {a_{2}}{\lambda }},{\frac {a_{3}}{\lambda }},\dots ,{\frac {a_{n}}{\lambda }}{\Big )}}$ ,

или:

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\mathbf {a} }{\lambda }}{\Big )}_{i}={\frac {a_{i}}{\lambda }}.}$

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

• Скалярное произведение :

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}}$ ,

или:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

(Это справедливо только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

• Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора

${\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}}$

и угол между векторами:

${\displaystyle \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}=\mathrm {arccos} {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |}}}$ .

Внешнее произведение :

${\displaystyle (\mathbf {a} \land \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}$ ,

для любой размерности пространства,

• Векторное произведение (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{x}=a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}}$ ,

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{y}=a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}}$ ,

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{z}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}}$ .

Это позволяет свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты образуют ортонормированный базис , притом .

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются:

${\displaystyle \mathbf {i} }$ , ${\displaystyle \mathbf {j} }$ и ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ,

или

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}}$ , ${\displaystyle \mathbf {e} _{y}}$ и ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$ .

Могут также применяться обозначения со стрелками ( ${\displaystyle {\vec {i}}}$ , ${\displaystyle {\vec {j}}}$ и ${\displaystyle {\vec {k}}}$ или ${\displaystyle {\vec {e}}_{x}}$ , ${\displaystyle {\vec {e}}_{y}}$ и ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}$ ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

${\displaystyle [\mathbf {i} \,,\mathbf {j} ]=\mathbf {k} ;}$

${\displaystyle [\mathbf {j} \,,\mathbf {k} ]=\mathbf {i} ;}$

${\displaystyle [\mathbf {k} \,,\mathbf {i} ]=\mathbf {j} .}$

Для размерностей пространства более 3, (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто это:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3},\dots \mathbf {e} _{n},}$

где n — размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}}$ ,

или:

${\displaystyle \mathbf {a} =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {e} _{i},}$

а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}.}$

См. также

• Аффинные координаты
• Проективные координаты

Примечания

Ссылки

• В. И. Гервидс. (неопр.) (flash). НИЯУ МИФИ (10 марта 2011). Дата обращения: 3 мая 2011.