Динамические стохастические модели общего равновесия (DSGE-модели , англ. Dynamic Stochastic General Equilibrium ) — современные макроэкономические модели, параметры которых основаны на моделировании поведения экономических агентов на микроуровне (в частности, поведение домохозяйств моделируется как решение задачи стохастической динамической оптимизации), предусматривающие также моделирование различных стохастических « шоков » (технологических, монетарных, ценовых и др.).

Теоретическим фундаментом классических DSGE-моделей являлась теория реального делового цикла (RBC) и они разрабатывались в рамках новой классической теории , основанной на совершенно конкурентных рынках, гибких ценах, рациональных ожиданиях экономических агентов. В дальнейшем эти модели получили развитие в рамках новой кейнсианской теории , учитывающей рынки монополистической конкуренции , жесткость цен и номинальных заработных плат.

DSGE-модели обычно сложно решить аналитически и оценивать эконометрически, как по причине нелинейных уравнений, так и по причине наличия в них операторов условного математического ожидания будущих значений эндогенных переменных. Нелинейность обычно обходят путем лог-линеаризации уравнений в окрестности стационарного состояния. Для решения проблем оценки моделей с рациональными ожиданиями разработаны различные подходы

DSGE-модели широко применяются центральными банками и другими финансовыми институтами для прогнозирования и выработки экономической политики.

Пример DSGE-модели

Эндогенные уравнения:

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}c_{t+1}-c_{t}=r_{t}-\mathbb {E} _{t}\pi _{t+1}-\rho \Delta a_{t}}$ — линеаризованное уравнение Эйлера (условие первого порядка задачи потребителя)

${\displaystyle \pi _{t}=b\mathbb {E} _{t}\pi _{t+1}+\kappa c_{t}+\varepsilon _{t}}$ — новокейнсианская кривая Филлипса

${\displaystyle r_{t}=\lambda r_{t-1}+(1-\lambda )\phi _{\pi }\pi _{t}+(1-\lambda )\phi _{c}c_{t}+u_{t}}$ — монетарное правило Тейлора

здесь эндогенные переменные ${\displaystyle c_{t},r_{t},\pi _{t}}$ — логарифмы соответственно потребления (выпуска), процентной ставки и инфляции в момент времени t, ${\displaystyle \mathbb {E} _{t}}$ — оператор рационального ожидания (условное математическое ожидание с учетом всей доступной на момент времени t информации). Экзогенные переменные: ${\displaystyle \Delta a_{t},u_{t},\varepsilon _{t}}$ — это так называемые «шоки», соответственно технологический шок, монетарный шок и шок потребления. Технологический и монетарный шоки моделируются обычно как авторегрессионные процессы первого порядка, шок потребления — как белый шум . Шок потребления и случайные ошибки авторегрессионных моделей для технологического и монетарного шоков предполагаются независимыми, нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием.

Моделирование поведения потребителя

Задача потребителя ( репрезентативного домохозяйства ) решается в два этапа.

Первый этап — оптимизация состава потребительской корзины

Предполагается, что в экономике имеется континуум дифференцированных товаров. Потребление ${\displaystyle j}$ -го товара, где ${\displaystyle j\in [0,1]}$ , в момент времени ${\displaystyle t}$ обозначим ${\displaystyle C_{t}(j)}$ . Композитное потребление (потребление композитного товара) ${\displaystyle C_{t}}$ в момент времени ${\displaystyle t}$ моделируется посредством функции с постоянной эластичностью замещения (CES) : ${\displaystyle C_{t}={\biggl [}\int _{0}^{1}C_{t}^{\epsilon -1 \over \epsilon }(j)dj{\biggr ]}^{\epsilon \over \epsilon -1}}$ . Если обозначить ${\displaystyle P_{t}(j)}$ цену ${\displaystyle j}$ -го товара в момент времени ${\displaystyle t}$ , то затраты потребителя составят : ${\displaystyle \int _{0}^{1}P_{t}(j)C_{t}(j)di}$ . Домохозяйство максимизирует композитное потребление при заданной величине затрат. Можно показать, что решение этой задачи максимизации имеет вид:

${\displaystyle C_{t}(j)={\biggl (}{P_{t}(j) \over P_{t}}{\biggr )}^{-\epsilon }C_{t}}$ , где ${\displaystyle P_{t}={\biggl [}\int _{0}^{1}P_{t}(j)^{1-\epsilon }dj{\biggr ]}^{1 \over 1-\epsilon }}$ — общий уровень цен в экономике.

Несложно показать, что затраты потребителя выражаются через композитное потребление и общий уровень цен естественным образом ${\displaystyle P_{t}C_{t}}$ , соответственно, спрос на композитный товар равен отношению расходов на общий уровень цен. Таким образом, спрос на конкретный товар зависит от «реальной» цены товара (отношение номинальной цены товара к общему уровню цен) и «реальной» величины расходов (отношение номинальных расходов к общему уровню цен).

Второй этап — межвременная оптимизация ожидаемой полезности

Поведение репрезентативного домохозяйства моделируется как задача максимизации ожидаемой ( математическое ожидание ) дисконтированной полезности потребления с учетом трудозатрат (затрат свободного времени):

${\displaystyle {\underset {C_{t},L_{t}}{\max }}\mathbb {E} _{0}\sum _{t=0}^{\infty }{\beta }^{t}U(C_{t},L_{t})}$

Здесь ${\displaystyle \mathbb {E} _{0}}$ — оператор рационального ожидания (математического ожидания при условии доступной в данный момент времени информации), а ${\displaystyle \beta \in (0,1)}$ — фактор дисконтирования.

Функция ${\displaystyle U(C_{t},L_{t})}$ — моментальная функция полезности композитного потребления с учетом трудозатрат ${\displaystyle L_{t}}$ (затрат «свободного времени»).

Межвременное бюджетное ограничение может иметь различный вид. Например, оно может быть сформулировано в виде:

${\displaystyle P_{t}C_{t}+B_{t}=(1+i_{t})B_{t-1}+W_{t}L_{t}+D_{t}}$

где ${\displaystyle B_{t}}$ — объем приобретенных однопериодных облигаций, ${\displaystyle i_{t}}$ — номинальная ставка процента (доходность облигаций), ${\displaystyle W_{t}}$ — номинальная заработная плата за единицу ${\displaystyle L_{t}}$ , а ${\displaystyle D_{t}}$ — это дивиденды по акциям фирм.

Также применяется условие отсутствия игр Понци в виде ${\displaystyle \lim _{T\infty }B_{t+T}>=0}$

Решение задачи межвременной оптимизации

Решение такой задачи (методом множителей Лагранжа) в общем случае имеет вид двух уравнений:

${\displaystyle W_{t}/P_{t}=-U'_{L,t}/U'_{C,t}}$ — условие выбора между потреблением и трудом/досугом (функция предложения труда)

${\displaystyle \beta \mathbb {E} _{t}{\biggl (}U'_{C,t+1}{1+i_{t} \over P_{t+1}}{\biggr )}=U'_{C,t}/P_{t}}$ — межвременной выбор между потреблением в текущем и следующем периоде (уравнение Эйлера)

На практике часто моментальная функция полезности ${\displaystyle U(C_{t},L_{t})}$ моделируется следующим образом:

${\displaystyle U(C_{t})={C_{t}^{1-\sigma } \over 1-\sigma }-\gamma {L_{t}^{1+\phi } \over 1+\phi }}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — коэффициент неприятия риска Эрроу-Пратта (случай ${\displaystyle \sigma =1}$ соответствует логарифму композитного потребления), ${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$ - параметр масштаба, связанный с размерностью ${\displaystyle L_{t}}$ , ${\displaystyle \phi \geq 0}$ — параметр, который в оптимальном решении равен величине, обратной эластичности предложения труда ( ${\displaystyle L_{t}}$ ) по реальной заработной плате.

В этом случае вышеуказанное решение принимает вид:

${\displaystyle W_{t}/P_{t}=\gamma C_{t}^{\sigma }L_{t}^{\phi }}$ или в логарифмах ${\displaystyle w_{t}-p_{t}=\gamma +\sigma c_{t}+\phi l_{t}}$

${\displaystyle \beta (1+i_{t})\mathbb {E} _{t}{\biggl (}C_{t+1}^{\sigma }{P_{t} \over P_{t+1}}{\biggr )}=C_{t}^{-\sigma }}$ или в логарифмах: ${\displaystyle c_{t}=\mathbb {E} _{t}c_{t+1}-{1 \over \sigma }(i_{t}-\mathbb {E} _{t}\pi _{t+1}-\rho )}$

Проблемы нахождения решений DSGE-моделей заключаются в первую очередь в наличии таких уравнений, содержащих ожидаемые значения переменных.

Моделирование поведения фирмы

Поведение репрезентативной фирмы может моделироваться как стандартная задача максимизации прибыли в каждом периоде или задача максимизации стоимости фирмы. При стандартном неоклассическом моделировании фирм на совершенно конкурентных рынках решение задачи фирмы приводит к стандартным результатам для совершенной конкуренции: равенству реальных зарплат и процентной ставки предельным продуктам соответственно труда и капитала.

Рассмотрим иной вариант моделирования.

Моделирование производства

В простейшем случае в экономике имеется континуум идентичных фирм, производящих дифференцированные товары по единой технологии. Производственная функция i-ой фирмы может моделироваться как линейная функция объема используемого труда ${\displaystyle Y_{t}(i)=A_{t}L_{t}(i)}$ , где ${\displaystyle A_{t}}$ — обозначает уровень технологии, ${\displaystyle L_{t}(i)}$ — объем используемого данной фирмой труда. Соответственно, агрегирование по экономике дает следующую производственную функцию:

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{1}Y_{t}(i)di=A_{t}L_{t}}$ или в логарифмах: ${\displaystyle y_{t}=a_{t}+l_{t}}$

Соответственно, логарифм технологической переменной (то есть ${\displaystyle a_{t}}$ ) моделируется часто как авторегрессионный процесс первого порядка (в общем случае с дрейфом):

${\displaystyle a_{t}=a_{e}+\rho a_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ , где дрейф ${\displaystyle a_{e}}$ , очевидно можно выразить через математическое ожидание процесса как ${\displaystyle a_{e}=(1-\rho )a}$

В рамках данного примера в экономике отсутствуют инвестиции и капитала, поэтому выполнено равенство ${\displaystyle y_{t}=c_{t}}$

Стоимость фирмы

Уравнение межвременной оптимизации потребления можно применить к задаче приобретения домохозяйством финансового актива, приносящего дивидендный доход (акции фирмы). Если через ${\displaystyle k}$ периодов после приобретения акции она принесет дивиденд ${\displaystyle D_{t+k}}$ , то реальная цена актива будет равна

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}{\biggl (}{\beta ^{k}U'_{C,t+k} \over U'_{C,t}}{D_{t+k} \over P_{t+k}}{\biggr )}=\mathbb {E} _{t}{\biggl (}\Lambda _{t}^{k}{D_{t+k} \over P_{t+k}}{\biggr )}}$ ,

где введено обозначение ${\displaystyle \Lambda _{t}^{k}={\beta ^{k}U'_{C,t+k} \over U'_{C,t}}}$ — стохастический дисконтирующий множитель для периода от t до t+k.

Соответственно, стоимость фирмы будет равна ${\displaystyle \mathbb {E} _{t}{\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }\Lambda _{t}^{k}{D_{t+k} \over P_{t+k}}{\biggr )}}$

Условие жесткости цен

Один из способов моделирования жесткости цен (так называемый метод Кальво или жесткость цен по Кальво) заключается в предположении, что отдельная фирма в данном периоде не изменит цену с некоторой экзогенно заданной вероятностью ${\displaystyle q\in [0,1]}$ , называемой индексом или степенью жесткости цен. Поскольку в экономике предполагается континуум фирм, то степень жесткости определяет фактически долю фирм, которые не изменят цены (то есть оставят их на уровне прошлого периода), а ${\displaystyle 1-q}$ — доля фирм, которые могут изменить цену и установить на некотором одинаковом уровне.

В таком случае общий уровень цен в экономике будет равен

${\displaystyle P_{t}={\biggl (}\int _{0}^{1}P_{t}(j)^{1-\epsilon }dj{\biggr )}^{1 \over 1-\epsilon }={\biggl (}qP_{t-1}^{1-\epsilon }+(1-q)P_{t}^{*1-\epsilon }{\biggr )}^{1 \over 1-\epsilon }}$

После логарифмирования и разложения в ряд Тейлора в окрестности стационарного состояния (нулевая инфляция) линейная часть разложения будет иметь вид: ${\displaystyle p_{t}=qp_{t-1}+(1-q)p_{t}^{*}}$

Задача фирмы

Жесткость цен влияет на задачу фирмы. Если фирма в текущем периоде может изменить цену, то она будет решать задачу оптимизации с учетом в том числе и вероятности того, что в будущем она не сможет пересмотреть цены (если она в будущем пересмотрит цену, то она оптимизирует ее на тот момент и эта оптимизационная задача не будет зависеть от текущего выбора цены). Поэтому фирма принимает решение в данный момент времени ${\displaystyle t}$ взвешивая каждое ${\displaystyle k}$ -е слагаемое в формуле определения стоимости фирмы на вероятность того, что в течение ${\displaystyle k}$ периодов она не изменит цены. Эта вероятность равна ${\displaystyle q^{k}}$ , поэтому фактически фирма должна максимизировать величину:

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}{\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\Lambda _{t}^{k}{D_{t+k} \over P_{t+k}}{\biggr )}}$

Если предположить, что размер дивидендов совпадает с прибылью фирмы, то задача фирмы формулируется как задача максимизации ожидаемой дисконтированной прибыли в предположении, что в будущем цена, формирующая прибыль будет равна устанавливаемой на данный момент:

${\displaystyle {\underset {P_{t}^{*}}{\max }}\mathbb {E} _{t}{\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\Lambda _{t}^{k}{P_{t}^{*}Y_{t+k|t}-TC(Y_{t+k|t}) \over P_{t+k}}{\biggr )}}$ , где ${\displaystyle TC(Y_{t+k|t})}$ — функция совокупных издержек фирмы, а ${\displaystyle Y_{t+k|t}}$ — объем выпуска фирмы в момент ${\displaystyle t+k}$ по цене, установленной на момент ${\displaystyle t}$ , равный ${\displaystyle Y_{t+k|t}={\biggl (}{P_{t}^{*} \over P_{t+k}}{\biggr )}^{-\epsilon }C_{t+k}}$

Очевидно, условие оптимальности имеет вид

Лог-линеаризованное решение задачи фирмы имеет вид

${\displaystyle \pi _{t}=\beta \mathbb {E} _{t}\pi _{t+1}-\lambda (\mu _{t}-\mu )}$ , где ${\displaystyle \lambda ={1-q \over q}(1-\beta q)}$

Таким образом мы получили факторную модель для инфляции, а именно инфляция определяется инфляционными ожиданиями и отклонением наценки от оптимальной с учетом также межвременного фактора дисконтирования и степени жесткости цен.

Новокейнсианская кривая Филлипса

Из линейной производственной функции следует, что ${\displaystyle L_{t}=Y_{t}/A_{t}}$ , следовательно затраты производства, состоящие из оплаты труда равны ${\displaystyle W_{t}L_{t}=W_{t}Y_{t}/A_{t}}$ , соответственно предельные издержки ${\displaystyle MC=W_{t}/A_{t}}$ , а в логарифмах ${\displaystyle mc_{t}=w_{t}-a_{t}}$ . Таким образом, логарифмическая наценка равна

${\displaystyle \mu _{t}=p_{t}-mc_{t}=p_{t}-w_{t}+a_{t}}$

Учитывая логлинейную кривую предложения труда ${\displaystyle w_{t}-p_{t}=\gamma +\sigma c_{t}+\phi l_{t}}$ получаем выражение для наценки ${\displaystyle \mu _{t}=a_{t}-\gamma -\sigma c_{t}-\phi l_{t}}$ . Из производственной функцию ${\displaystyle y_{t}=a_{t}+l_{t}}$ , поскольку инвестиции в модели отсутствуют и выполнено равенство ${\displaystyle y_{t}=c_{t}}$ , следует ${\displaystyle l_{t}=c_{t}-a_{t}}$ / Подставив это в выражение для логарифмической наценки, окончательно получим для нее следующее выражение:

${\displaystyle \mu _{t}=(1+\phi )a_{t}-\gamma -(\sigma +\phi )y_{t}}$

Аналогичное выражение имеет место и для оптимальной наценки, соответствующей естественному выпуску:

${\displaystyle \mu =(1+\phi )a_{t}-\gamma -(\sigma +\phi )y_{t}^{*}}$

Подставив эти выражения в модель факторов инфляции, получим новокейнсианскую кривую Филлипса:

${\displaystyle \pi _{t}=\beta \mathbb {E_{t}} \pi _{t+1}+\kappa (y_{t}-y_{t}^{*})}$ , где ${\displaystyle \kappa =\lambda (\sigma +\phi )}$

Литература

• McCandless. (англ.) . — Harvard University Press, 2008. — 448 p. — ISBN 978-0674028142 .