Магнитная гидродинамика
— физическая дисциплина, возникшая на пересечении
гидродинамики
и
электродинамики сплошной среды
. Предметом её изучения является динамика проводящей жидкости или газа в
магнитном поле
. Примерами изучаемых сред являются различного рода
плазма
, жидкие
металлы
, солёная вода.
Пионером исследований в области теории магнитогидродинамики признан
Ханнес Альфвен
, удостоившийся за свои работы
Нобелевской премии
в
1970 году
. Первой экспериментальной работой в этой области стало исследование
Гартманом
в
1937 году
сопротивления течения
ртути
в трубке при воздействии поперечного магнитного поля.
Уравнения магнитной гидродинамики
Полная система уравнений нерелятивистской магнитной гидродинамики проводящей жидкости имеет вид:
{
ρ
∂
v
→
∂
t
+
ρ
(
v
→
,
∇
)
v
→
=
−
∇
p
−
1
4
π
[
H
→
rot
H
→
]
+
η
Δ
v
→
+
(
1
3
η
+
ζ
)
∇
div
v
→
p
=
p
(
ρ
)
∂
ρ
∂
t
+
div
ρ
v
→
=
0
∂
H
→
∂
t
=
−
1
σ
c
2
4
π
rot
[
∇
×
H
→
]
+
rot
[
v
→
×
H
→
]
∇
⋅
H
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}
Здесь:
p
{\displaystyle p}
— давление в среде;
ρ
{\displaystyle \rho }
— плотность среды;
σ
{\displaystyle \sigma }
— проводимость среды;
η
{\displaystyle \eta }
—
вязкость
среды;
ζ
{\displaystyle \zeta }
—
объёмная
вязкость
среды;
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
— поле скоростей;
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
—
напряжённость
магнитного поля
.
Эта система содержит 8 уравнений и позволяет определить 8 неизвестных (
p
{\displaystyle p}
,
ρ
{\displaystyle \rho }
,
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
,
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
) при заданных начальных и граничных условиях.
Если воспользоваться следующими приближениями (
бездиссипативный
предел):
σ
→
∞
;
{\displaystyle \sigma \to \infty ;}
η
=
0
;
{\displaystyle \eta =0;}
ζ
=
0
,
{\displaystyle \zeta =0,}
то система уравнений МГД запишется в более простом виде:
{
ρ
∂
v
→
∂
t
+
ρ
(
v
→
,
∇
)
v
→
=
−
∇
p
−
1
4
π
[
H
→
rot
H
→
]
p
=
p
(
ρ
)
∂
ρ
∂
t
+
div
ρ
v
→
=
0
∂
H
→
∂
t
=
rot
[
v
→
×
H
→
]
∇
⋅
H
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}
Вывод уравнений
Вывод уравнений МГД из уравнений Максвелла и гидродинамики
Запишем систему
уравнений Максвелла
в системе
СГС
:
{
∇
×
E
→
=
−
1
c
∂
H
→
∂
t
∇
×
H
→
=
1
c
∂
E
→
∂
t
+
4
π
c
j
→
∇
⋅
H
→
=
0
∇
⋅
E
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}}
Будем исходить из следующих предположений:
магнитная проницаемость равна единице:
μ
=
1
;
{\displaystyle \mu =1;}
нет электрических зарядов:
ρ
=
0
;
{\displaystyle \rho =0;}
закон Ома
имеет вид:
j
→
=
σ
E
→
+
σ
c
v
→
×
H
→
.
{\displaystyle {\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.}
Ограничимся нерелятивистским случаем (
v
≪
c
{\displaystyle v\ll c}
), то есть
|
∇
×
H
→
|
≫
|
1
c
∂
E
→
∂
t
|
.
{\displaystyle \left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|.}
Обоснование нерелятивистского приближения.
Уравнения Максвелла
в этом приближении запишутся следующим образом:
{
∇
×
E
→
=
−
1
c
∂
H
→
∂
t
∇
×
H
→
=
4
π
c
j
→
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}}
Выразив из закона Ома
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
и подставив его в первое уравнение, получим:
−
1
c
∂
H
→
∂
t
=
∇
×
(
1
σ
j
→
−
1
c
v
→
×
H
→
)
.
{\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).}
Подставив в это уравнение ток из второго уравнения Максвелла, получим:
−
1
c
∂
H
→
∂
t
=
1
σ
c
4
π
∇
×
[
∇
×
H
→
]
−
1
c
∇
×
[
v
→
×
H
→
]
.
{\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].}
В пределе идеальной проводящей жидкости
σ
→
∞
{\displaystyle \sigma \to \infty }
получаем:
∂
H
→
∂
t
=
∇
×
[
v
→
×
H
→
]
.
{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].}
Для связи с гидродинамикой в
уравнение Навье — Стокса
добавляется член, отвечающий за
силу Ампера
, действующую на токи со стороны магнитного поля (ток выражается из второго уравнения Максвелла через напряжённость магнитного поля):
f
→
=
1
c
[
j
→
×
H
→
]
=
−
1
4
π
[
H
→
×
rot
H
→
]
.
{\displaystyle {\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].}
Приложения
Принципы магнитной гидродинамики используются для дистанционного контроля и управления поведением жидких металлов в промышленности, в частности:
См. также
Литература
Денисов В. И.
«Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. —
ISBN 5-211-01371-9
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное. —
М.
:
Физматлит
,
2003
. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). —
ISBN 5-9221-0123-4
.
Котельников И. А.
Лекции по физике плазмы. Том 2: Магнитная гидродинамика. — 3-е изд. —
СПб.
:
, 2021. — 446 с. —
ISBN 978-5-8114-6933-8
.
Ссылки
в энциклопедии «Кругосвет».
.
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии
В библиографических каталогах
![{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}](/images/004/985/4985938/2.jpg?rand=299066)
![{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}](/images/004/985/4985938/17.jpg?rand=150495)
![{\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].}](/images/004/985/4985938/35.jpg?rand=893318)
![{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].}](/images/004/985/4985938/37.jpg?rand=845102)
![{\displaystyle {\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].}](/images/004/985/4985938/38.jpg?rand=532133)
marybeth
