Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве .

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии ) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах :

${\displaystyle z=tx^{2}+uy^{2},}$

где ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle u}$ — действительные числа , не равные нулю одновременно.

При:

• ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle u}$ одного знака — эллиптический параболоид ; частный случай ${\displaystyle t=u}$ — параболоид вращения ;
• ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle u}$ разных знаков — гиперболический параболоид ;
• ${\displaystyle t}$ или ${\displaystyle u}$ равен нулю, — цилиндрический параболоид или, чаще параболический цилиндр .

Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси ${\displaystyle z}$ ) плоскостями произвольного положения — параболы .

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости ${\displaystyle x,\ y}$ для эллиптического параболоида — эллипсы , для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.

Сечения для гиперболического параболоида — гиперболы .

В частных случаях сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида; для параболического цилиндра прямые будут параллельны) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).

Эллиптический параболоид

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, задаваемая функцией вида:

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$

Эллиптический параболоид можно описать как семейство параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу с также направленными вверх ветвями (см. рисунок). Это представление симметрично, и оси семейств парабол образуют пару пересекающихся перпендикулярно плоскости.

Если ${\displaystyle a=b}$ , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения , образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.

Гиперболический параболоид

Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седловая поверхность , описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$ или ${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$

Также гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх (см. рисунок).

Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью .

Поверхность, порождаемая билинейной интерполяцией некоторой функции по 4 точкам, является гиперболическим параболоидом.

Интересные факты

• Поверхность жидкости в равномерно вращающемся сосуде является параболоидом вращения (что не является прямой причиной его названия).
• Часто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус , или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основана работа параболических антенн , телескопов-рефлекторов с параболическим зеркалом, прожекторов , автомобильных фар и т. д. Подробнее, см. рефлектор (зеркало) .

См. также

• Гиперболоид — другой вид поверхности второго порядка.
• Поверхности второго порядка .
• Квадратичная форма .

Литература

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, в двух томах. — М., Л.: Гостехиздат , 1948, 1949.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8 .