Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере . Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом . После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2024 год) решённой задачей тысячелетия .

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое ${\displaystyle n}$ -мерное многообразие гомотопически эквивалентно ${\displaystyle n}$ -мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре эквивалентна частному случаю обобщённой гипотезы при ${\displaystyle n=3}$ . К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных , похожее на уравнение теплопроводности . Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят « хирургию » — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению ${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$ ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме .

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии ${\displaystyle M}$ и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие ${\displaystyle M}$ можно представить как набор сферических пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$ , соединённых друг с другом трубками ${\displaystyle [0,1]\times S^{2}}$ . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что ${\displaystyle M}$ диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$ и более того все ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ тривиальны. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История

В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре , и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда .

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для ${\displaystyle n\geqslant 5}$ получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом , независимо и другими методами (для ${\displaystyle n\geqslant 5}$ , его доказательство было распространено на случаи ${\displaystyle n=5,6}$ Зиманом ). Доказательство значительно более трудного случая ${\displaystyle n=4}$ было получено только в 1982 году Фридманом . Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона ) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных . Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией ) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном , который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки

• В 1986 году Майкл Фридман стал Филдсовским лауреатом .
• В 2006 году Григорий Перельман стал Филдсовским лауреатом (отказался).
• В 2010 году математический институт Клэя присудил Перельману Премию тысячелетия (отказался).

Отражение в средствах массовой информации

• В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным « прорывом года » . Это первая работа по математике, заслужившая такое звание .
• В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую статью « Многообразная судьба », которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре .

Примечания

Литература

• Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3 .
• Бессьер Л., Бессон Ж., Буало М. от 4 августа 2020 на Wayback Machine // Математическое просвещение . 2019, сер. 3. Вып. 24, С. 53-69.

Ссылки

• Perelman G. (англ.) // ArXiv.org — 2002. — ISSN —
• Perelman G. (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN —
• Perelman G. (англ.) // ArXiv.org — 2003. — ISSN —
• Milnor J. (англ.)
• С. Николенко. // Компьютерра. — 2006. — № 1—2 . 18 июня 2017 года.
• , Tian G. (англ.) // ArXiv.org — 2006. — ISSN —
• B. Kleiner, J. Lott . (англ.)
• Terence Tao'' . (англ.)