Наиме́ньшее о́бщее кра́тное ( ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ ) двух целых чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ есть наименьшее натуральное число , которое делится на ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ без остатка, то есть кратно им обоим. Обозначается одним из следующих способов:

• ${\displaystyle \mathrm {HOK} (m,n)}$ ;
• ${\displaystyle [m,n]}$ ;
• ${\displaystyle \mathrm {LCM} (m,n)}$ или ${\displaystyle \mathrm {lcm} (m,n)}$ (от англ. least common multiple ).

Пример: ${\displaystyle \mathrm {HOK} (16,20)=80}$ .

Наименьшее общее кратное для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Одно из наиболее частых применений ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ — приведение дробей к общему знаменателю .

Свойства

• Коммутативность : ${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,b)=\mathrm {lcm} (b,a)}$ .
• Ассоциативность : ${\displaystyle \mathrm {lcm} (a,\mathrm {lcm} (b,c))=\mathrm {lcm} (\mathrm {lcm} (a,b),c)}$ .
• Связь с наибольшим общим делителем ${\displaystyle \mathrm {gcd} (a,b)}$ :

  ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.}$

• В частности, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — взаимно-простые числа , то ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=a\cdot b.}$
• ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1}^{n},a_{2}^{n},...,a_{k}^{n})=(\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},...,a_{k}))^{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 0.}$
• Наименьшее общее кратное двух целых чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ является делителем всех других общих кратных ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ . Более того, множество общих кратных ${\displaystyle m}$ , ${\displaystyle n}$ совпадает с множеством кратных для ${\displaystyle \mathrm {HOK} (m,n)}$ .
• Асимптотики для ${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)}$ могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так:
  • функция Чебышёва ${\displaystyle \psi (x)=\ln \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor );}$
  • ${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\leqslant g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim e^{\sqrt {{\frac {n(n+1)}{2}}\ln {\frac {n(n+1)}{2}}}},}$ что следует из определения и свойств функции Ландау ${\displaystyle g(n)}$ ;
  • ${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\sim e^{n+o(1)},}$ что следует из закона распределения простых чисел .

Нахождение НОК

${\displaystyle \mathrm {HOK} (a,b)}$ можно вычислить несколькими способами.

1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ :

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}}$

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

${\displaystyle a=p_{1}^{d_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},}$

${\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},}$

где ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ — различные простые числа, а ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}}$ и ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}}$ — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда ${\displaystyle \mathrm {HOK} (a,b)}$ вычисляется по формуле:

${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}.}$

Другими словами, разложение ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел ${\displaystyle a,b}$ , причём из показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример для бóльшего количества чисел:

${\displaystyle 56\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 7^{1}}$

${\displaystyle 9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 7^{0}}$

${\displaystyle 21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {lcm} (56,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.}$

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть также сведено к нескольким последовательным вычислениям ${\displaystyle \mathrm {HOK} }$ от двух чисел:

• ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b,c)=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a,b),c);}$
• ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).}$

См. также

• Наибольший общий делитель

Литература

• Виноградов И. М. . — М. — Л. : ГИТТЛ, 1952. — 180 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .