Interested Article - Закон дисперсии

Зако́н диспе́рсии , или дисперсионное соотношение , в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора :

.

Математический вид этой зависимости, выражающей связь временнóй и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.

Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

.

В простейшем случае линейной связи и эти скорости совпадают.

Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих . Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля , ассоциируемых с частицами, например электронами.

Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости

для энергии кванта колебаний ( фотона , фонона ) или частицы, где постоянная Планка-Дирака .

Волновое уравнение и дисперсия

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции , можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

Нахождение дисперсионного соотношения

Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления .

Примеры для волн различных типов

Дисперсия видимого света в оптике

Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой . Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны .

Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

Упругие колебания атомов в цепочке

Пусть имеется одномерная линейная цепочка атомов массой , расстояние между ними . Сместим атом на малое расстояние . Из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

С учётом ближайших соседей, действующая на -й атом смла запишется как

где — коэффициент. Уравнение движения для -го атома имеет вид

.

Его решение ищется в форме , где — волновое число, const, а — частота. Тогда

откуда получается:

где .

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии, для одноатомной цепочки.

Законы дисперсии для электронов

В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором . Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.

В полупроводниках , в диапазоне энергий электрона вблизи минимума зона проводимости дисперсионное соотношение часто повторяет соответствующее выражение для случая вакуума, но с эффективной массой отличной от массы свободного электрона:

.

Однако при повышении энергии выражение значительно модифицируется.

См. также

Примечания

Литература

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны . — М.: Мир, 1977.

Источник —

Same as Закон дисперсии