В
гамильтоновой механике
каноническое преобразование
(также
контактное преобразование
) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид
уравнений Гамильтона
для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид
уравнений Гейзенберга
. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют
группу
.
Определение
Преобразования
-
-
-
, где
— число
степеней свободы
,
-
называются
каноническими
, если это преобразование переводит
уравнения Гамильтона
с
функцией Гамильтона
:
-
-
в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона
:
-
-
Переменные
и
называются
новыми
координатами и импульсами, соответственно, а
и
—
старыми
координатами и импульсами.
Производящие функции
Из инвариантности
интеграла Пуанкаре — Картана
и
теоремы Ли Хуа-чжуна
о его единственности можно получить:
-
где постоянную
называют валентностью канонического преобразования,
— полный дифференциал некоторой функции
(предполагается, что
и
также выражены через старые переменные). Она называется
производящей функцией
канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.
Канонические преобразования для которых
называется
унивалентными
. Так как при заданной производящей функции различные
изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.
Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных
, причём выбор независим для каждого
. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого
одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции
имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты
. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать
преобразования Лежандра
исходной функции
. Полученные функции называют
производящими функциями
канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех
возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:
-
где для простоты введены векторы старых координат и импульсов
, , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.
Производящая функция 1-го типа
Пусть
— произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:
-
кроме того, задано некоторое число
, тогда пара
задаёт каноническое преобразование по правилу
-
-
-
Связь с исходной производящей функцией:
-
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю
якобиан
:
-
Канонические преобразования, дополненные этим условием называют
свободными
.
Производящая функция 2-го типа
Пусть
— произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:
-
кроме того, задано некоторое число
, тогда пара
задаёт каноническое преобразование по правилу
-
-
-
Связь с исходной производящей функцией:
-
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю
якобиан
:
-
Производящая функция 3-го типа
Пусть
— произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:
-
кроме того, задано некоторое число
, тогда пара
задаёт каноническое преобразование по правилу
-
-
-
Связь с исходной производящей функцией:
-
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю
якобиан
:
-
Производящая функция 4-го типа
Пусть
— произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:
-
кроме того, задано некоторое число
, тогда пара
задаёт каноническое преобразование по правилу
-
-
-
Связь с исходной производящей функцией:
-
Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю
якобиан
:
-
Примеры
1. Тождественное преобразование
-
-
-
может быть получено при:
-
2. Если задать
-
то полученное преобразование будет иметь вид:
-
-
-
Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.
3. Преобразование инверсии
-
-
-
может быть получено при:
-
4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)
Они всегда могут быть заданы с помощью:
-
тогда
-
В частности, если
-
где
—
ортогональная матрица
:
-
то
-
-
К точечным преобразования приводит и функция:
-
тогда
-
В частности функция
-
задаёт переход от
декартовых координат
к
цилиндрическим
.
5. Линейные преобразования переменных
системы с одной степенью свободы:
-
-
является унивалентным каноническим преобразованием при
-
производящая функция:
-
Такие преобразования образуют
специальную линейную группу
.
Действие как производящая функция
Действие
, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки
-
задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.
Скобки Пуассона и Лагранжа
Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью
скобок Пуассона
:
-
-
-
Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций
и
условия:
-
где под
и
понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.
В случае унивалентных канонических преобразований:
-
и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).
Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью
скобок Лагранжа
:
-
-
-
Литература
-
Арнольд В. И.
Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. —
М.
: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. —
1500 экз.
—
ISBN 5-354-00341-5
.
-
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.
§46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения.
// Механика. — 5-е изд., стереотипное. —
М.
: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. —
3000 экз.
—
ISBN 5-9221-0055-6
.
-
Гантмахер Ф. Р.
Лекции по аналитической механике. 3-е изд. —
М.
: Физматлит, 2005. — 264 с. —
ISBN 5-9221-0067-X
.
.
-
Ольховский И. И.
Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. —
СПб.
: Лань, 2009. — 576 с. —
ISBN 978-5-8114-0857-3
.
.