Блочный гамильтониан — гамильтониан , описывающий критическое поведение магнетика вблизи точки фазового перехода второго рода.

Предмет изучения

Рассматривается магнетик в окрестности точки Кюри . Поведение магнетика в этой области обуславливается расходимостью ряда термодинамических характеристик (таких как теплоёмкость , восприимчивость ). связывает все расходимости с неогранниченным ростом . непосредственно измеряется с помощью экспериментов по рассеянию нейтронов. Целью этой статьи является описание получения гамильтониана, который бы удобным образом определял систему в условиях возрастания корреляций.

Ячеечные гамильтонианы

Поскольку критические явления и образование кристаллической решётки и внутренних атомных оболочек между собой никак не связаны, будем считать последние заданными. Предполагая, что критические явления обусловлены крупномасштабным коллективным поведением электронных спинов , получаем, что, по всей вероятности, нам нет необходимости знать зонную структуру и многие другие детали — надо знать лишь их общее влияние на взаимодействие между электронными спинами. В таком случае можно сделать ещё более сильные упрощения. Рассмотрим классические спины, по одному в каждой элементарной ячейке заданной кристаллической решётки с известным спин-спиновым взаимодействием. Квантовой природой, движением электронов и многими другими деталями пренебрежём. Примерами моделей, оперирующих с такими предположениями, могут быть модель Изинга и .

Каждой ячейке припишем спиновую переменную ${\displaystyle \sigma _{c}}$ , которая служит мерой полного спина ячейки с. Всего в решётке содержится ${\displaystyle L^{3}}$ ячеек и, следовательно, ${\displaystyle L^{3}}$ спиновых переменных. Эти переменные мы будем называть ячеечными спинами. Энергия спинов является функцией ${\displaystyle {\hat {H}}[\sigma ]}$ спиновых переменных. Это гамильтониан ячеечных спинов. Назовём его ячеечным гамильтонианом.

Модель Изинга

Данная модель характеризуется ячеечным гамильтонианом вида

${\displaystyle {\hat {H}}[\sigma ]={\frac {1}{2}}J\sum _{c}\sum _{r}'(\sigma _{c}-\sigma _{c+r})^{2},\qquad (1)}$

где сумма по r берется только по ближайшим соседям ячейки c. Спиновые переменные могут принимать лишь два значения ${\displaystyle \sigma _{c}=\pm 1}$ . Гамильтониан (1) позволяет простейшим способом отразить тот факт, что энергия для одинаково ориентированных спинов меньше, нежели для спинов, ориентированных противоположным образом. J — « обменная энергия ».

Модель Гейзенберга

Модель Гейзенберга является обобщением модели Изинга на тот случай, когда спин может быть ориентирован произвольным образом. Для описания каждого спина нам требуется вектор

${\displaystyle \sigma _{c}=(\sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}).\qquad (2)}$

Для ${\displaystyle \sigma _{c}}$ вводится обычное скалярное произведение и внешний вид гамильтониана (1) сохраняется.

XY-модель

XY-модель представляет собой случай, промежуточный между моделью Изинга и моделью Гейзенберга. Она служит для описания магнетиков со спинами, ориентированными в основном в одной плоскости.

Построение блочного гамильтониана, преобразование Каданова

В условиях роста корреляционной длины разумно предположить, что критическое поведение магнетика не будет зависеть от спинов конкретных элементарных ячеек, а будет скорее определяться средними значениями спинов целых областей изучаемого образца. Построим блочный гамильтониан зависящий от таких средних. Такое построение называется преобразованием Каданова .

Первый способ

Построим блочный гамильтониан, описывающий взаимодействие между блочными спинами. Для этого разделим кристалл на кубические блоки размером ${\displaystyle b^{d}}$ элементарных ячеек, где d — размерность пространства в котором изучается система. Для каждого блока определим блочный спин, как сумму ячеечных спинов, делённую на ${\displaystyle b^{d}}$ . Параметры блочного гамильтониана суммируют существенные детали поведения системы в масштабах b постоянных решётки.

Пусть вероятность найти систему с заданным распределением спинов по ячейкам равна

${\displaystyle P[\sigma ]\sim exp[-{\hat {H}}[\sigma ]/T].\qquad (3)}$

Тогда вероятность найти систему с заданным распределением блочных спинов будет выражаться, как

${\displaystyle P'[\sigma ]\sim \int e^{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}\prod _{i,x}\delta (\sigma _{i,x}-b^{-d}\sum _{c}^{x}\sigma _{i,c})\prod _{j,c}d\sigma _{j,c}\equiv e^{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T},\qquad (4)}$

эту формулу можно принять за определение блочного гамильтониана ${\displaystyle {\hat {H'}}[\sigma ]}$ .

${\displaystyle K_{b}{\hat {H}}[\sigma ]={\hat {H'}}[\sigma ]\qquad (5)}$

Очевидно свойство преобразования Каданова

${\displaystyle K_{b_{1}}K_{b_{2}}{\hat {H}}[\sigma ]=K_{b_{1}*b_{2}}{\hat {H}}[\sigma ].\qquad (6)}$

Второй способ

Рассмотрим ячеечный гамильтониан ${\displaystyle {\hat {H}}[\sigma ]}$ как функцию фурье-компонент ${\displaystyle \sigma _{k}}$

${\displaystyle \sigma _{c}=L^{-d/2}\sum _{k}e^{ik*c}\sigma _{k},\quad \sigma _{k}=L^{-d/2}\sum _{c}e^{-ic*k}\sigma _{c}.\qquad (7)}$

Введем блочный гамильтониан теперь следующим способом

${\displaystyle P'\sim \int e^{-{\hat {H}}[\sigma ]/T}\prod _{i,k>\Lambda }d\sigma _{i,k}\equiv e^{-{\hat {H'}}[\sigma ]/T},\qquad (8)}$

в этом случае блочный спин определяется как

${\displaystyle \sigma (x)=L^{-d/2}\sum _{k<\Lambda }e^{ik*x}\sigma _{k},\qquad (9)}$

и описывает спиновую конфигурацию в масштабах вплоть до ${\displaystyle b\sim \Lambda ^{-1}}$

Замечание

Первый и второй способы определения блочного гамильтониана не являются полностью эквивалентными и определяют формально разные объекты.

Литература

1. Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М.: Мир, 1980. — 297 с.

2. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: Издательство ПИЯФ, 1998. — 774 с. — ISBN 5-86763-122-2