Interested Article - Гамильтониан (квантовая механика)

Квантовая механика
См. также: Портал:Физика

Гамильтониа́н ( или H ) в квантовой теории оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона ). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона .

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором .

Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний . Если состояние системы в момент времени t , то

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени ( t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H .

По свойству *- гомоморфизма , оператор

унитарен . Это оператор временной эволюции , или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия .

Выражения для гамильтониана в координатном представлении

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

и для трёх измерений:

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V 0 (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

В трёх измерениях:

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

где угловая частота коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению

поэтому гамильтониан имеет вид

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

где трёхмерный радиус-вектор r , его модуль определяется так:

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

В квантовой теории поля

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени , в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана , гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

Ссылки

  • Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. ISBN 978-5-9221-0530-9 .
Источник —

Same as Гамильтониан (квантовая механика)