Пло́скость — одно из фундаментальных понятий в геометрии . При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. В тесной связи с плоскостью принято рассматривать принадлежащие ей точки и прямые ; они также, как правило, вводятся как неопределяемые понятия, свойства которых задаются аксиоматически .

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую , соединяющую любые её точки ;
• Две различные плоскости либо являются параллельными , либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо содержится в плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро ( 1731 ).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе ( 1816 — 1818 ).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе ( 1861 ).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)}$

где ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки ${\displaystyle M(x,y,z)}$ , вектор ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора ${\displaystyle \mathbf {N} }$ :

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным . При ${\displaystyle D=0}$ плоскость проходит через начало координат , при ${\displaystyle A=0}$ (или ${\displaystyle B=0}$ , ${\displaystyle C=0}$ ) плоскость параллельна оси ${\displaystyle Ox}$ (соответственно ${\displaystyle Oy}$ или ${\displaystyle Oz}$ ). При ${\displaystyle A=B=0}$ ( ${\displaystyle A=C=0}$ , или ${\displaystyle B=C=0}$ ) плоскость параллельна плоскости ${\displaystyle Oxy}$ (соответственно ${\displaystyle Oxz}$ или ${\displaystyle Oyz}$ ).

• Уравнение плоскости в отрезках:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}$

где ${\displaystyle a=-D/A}$ , ${\displaystyle b=-D/B}$ , ${\displaystyle c=-D/C}$ — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях ${\displaystyle Ox,Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$ .

• Уравнение плоскости, проходящей через точку ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ,перпендикулярной вектору нормали ${\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}$ :

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$

в векторной форме:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}$

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ${\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$ , не лежащие на одной прямой :

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0}$

(смешанное произведение векторов), иначе

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}$

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)}$

в векторной форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}$

где ${\displaystyle \mathbf {N^{0}} }$ - единичный вектор, ${\displaystyle p}$ — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

${\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

(знаки ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle D}$ противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, ${\displaystyle r_{0}}$ является радиусом-вектором точки ${\displaystyle P_{0}}$ , заданной на плоскости, и допустим, что n — это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка ${\displaystyle P}$ с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от ${\displaystyle P_{0}}$ к ${\displaystyle P}$ , перпендикулярен n .

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$ (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

${\displaystyle n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,}$

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости ${\displaystyle P(2,6,-3)}$ и вектор нормали ${\displaystyle N(9,5,2)}$ .

Уравнение плоскости записывается так:

${\displaystyle 9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0}$

${\displaystyle -18+9x-30+5y+6+2z=0}$

${\displaystyle 9x+5y+2z-42=0}$

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$ от плоскости заданной нормированным уравнением ${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle \delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;}$

${\displaystyle \delta >0}$ ,если ${\displaystyle M_{1}}$ и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае ${\displaystyle \delta <0}$ . Расстояние от точки до плоскости равно ${\displaystyle |\delta |.}$

• Расстояние ${\displaystyle \rho }$ от точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ , до плоскости, заданной уравнением ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ , вычисляется по формуле:

${\displaystyle \rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями ${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{1}=0}$ и ${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{2}=0}$ :

${\displaystyle d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями ${\displaystyle {\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{1}}})=0}$ и ${\displaystyle {\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{2}}})=0}$ :

${\displaystyle d={\frac {\mid [{\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1},{\bar {n}}]\mid }{\mid {\bar {n}}\mid }}}$

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};}$

Если в векторной форме, то

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.}$

• Плоскости параллельны , если

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$ или ${\displaystyle [\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=0.}$ (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны , если

${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0}$ или ${\displaystyle (\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0}$ . (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид ^:222 :

${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,}$

где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.

• Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей ^:224 . Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:

${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,}$

где ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

Вариации и обобщения

Плоскости в неевклидовом пространстве

Метрика плоскости не обязана быть евклидовой . В зависимости от введенных отношений инцидентности точек и прямых, различают проективные , аффинные , гиперболические и эллиптические плоскости .

Многомерные плоскости

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство ${\displaystyle K^{n}(V,P)}$ , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат ${\displaystyle O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}}$ . m-плоскостью называется множество точек ${\displaystyle \alpha }$ , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению ${\displaystyle \alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.}$ ${\displaystyle A_{nm}}$ — матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, ${\displaystyle {\vec {t}}}$ — вектор переменных, ${\displaystyle {\vec {d}}}$ — радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
${\displaystyle x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}}\in V}$ — векторное уравнение m-плоскости.
Вектора ${\displaystyle {\vec {a_{i}}}}$ образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ называются параллельными , если их направляющие пространства совпадают и ${\displaystyle \exists x\in \alpha :x\notin \beta }$ .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью . Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — нормальный вектор плоскости, ${\displaystyle {\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})}$ — вектор переменных, ${\displaystyle {\vec {r_{0}}}}$ — радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0}$ — общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: ${\displaystyle \det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0}$ , или:
${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{1}-x_{0}^{1}&a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{1}\\x^{2}-x_{0}^{2}&a_{1}^{2}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{0}^{n}&a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&...&a_{n-1}^{n}\end{vmatrix}}=0}$ .
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая . Её векторное уравнение имеет вид: ${\displaystyle \alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}}$ . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.

Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. также

• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость
• Пространство

Примечания

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М. : Физматлит, 2002. — 240 с.
• Плоскость // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1984. — Т. 4. — С. 318—319.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме