Общая теория относительности
· Математическая формулировка Предсказания
Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманово многообразие
Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационная волна · Увлечение инерциальных систем отсчёта Горизонт событий Гравитационная сингулярность Чёрная дыра · Белая дыра Космологическая сингулярность Гравитомагнетизм
Уравнения Уравнения Эйнштейна · Космологическая постоянная · · Постньютоновский формализм
Развитие теории · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории
Решения Точные решения: Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · · Численная относительность
Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · · Living Reviews in Relativity
Связанные темы Гравитация · Золотой век ОТО
См. также: Портал:Физика

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм ( ППН формали́зм ) — версия постньютоновского формализма , применимая не только к общей теории относительности , но и к другим метрическим теориям гравитации , когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна . В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света ${\displaystyle c^{-2}}$ (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем пульсаров в двойных системах .

История

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922 ). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела . (Nordtvedt, 1968 , 1969 ) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971 ) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса .

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах (Ni, 1972 ), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972 ), Мизнера , Торна и Уилера Гравитация , и Уилла , и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля . ППН формализм показал себя ценным инструментом для . В обозначениях Уилла (Will, 1971 ), Ни (Ni, 1972 ) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973 ) ППН параметры имеют условно следующее значение :

${\displaystyle \gamma }$	Насколько сильная пространственная кривизна в ${\displaystyle g_{ij}}$ генерируется единицей массы покоя?
${\displaystyle \beta }$	Насколько велика нелинейность в ${\displaystyle g_{00}}$ при сложении гравитационных полей?
${\displaystyle \beta _{1}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей кинетической энергии ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}}$ ?
${\displaystyle \beta _{2}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей гравитационной потенциальной энергии ${\displaystyle \rho _{0}/U}$ ?
${\displaystyle \beta _{3}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей внутренней энергии тела ${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$ ?
${\displaystyle \beta _{4}}$	Как много тяготения в ${\displaystyle g_{00}}$ производится единицей давления ${\displaystyle p}$ ?
${\displaystyle \zeta }$	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \eta }$	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \Delta _{1}}$	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в ${\displaystyle g_{0j}}$ производится единицей импульса ${\displaystyle \rho _{0}v}$ ?
${\displaystyle \Delta _{2}}$	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ и ${\displaystyle \zeta =\eta =0}$ .

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972 ), используемой также в работах Уилла (1981 , 2014 ), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$ ,

${\displaystyle \beta =\beta }$ ,

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$ ,

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$ ,

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$ ,

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$ ,

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$ ,

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$ ,

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$ ,

${\displaystyle \xi }$ получается из ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$ .

Смысл параметров ${\displaystyle \alpha _{1}}$ , ${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта ( эфира ) . ${\displaystyle \zeta _{1}}$ , ${\displaystyle \zeta _{2}}$ , ${\displaystyle \zeta _{3}}$ , ${\displaystyle \zeta _{4}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса .

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$ .

Вид метрики альфа-дзета варианта:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\varepsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\varepsilon ^{\frac {5}{2}})\;,}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;}$ ,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала ${\displaystyle U}$ , квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), ${\displaystyle w^{i}}$ — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, ${\displaystyle w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}}$ — квадрат этой скорости, а ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ если ${\displaystyle i=j}$ и ${\displaystyle 0}$ в противоположном случае — символ Кронекера .

Есть только десять простых метрических потенциалов: ${\displaystyle U}$ , ${\displaystyle U_{ij}}$ , ${\displaystyle \Phi _{W}}$ , ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle \Phi _{1}}$ , ${\displaystyle \Phi _{2}}$ , ${\displaystyle \Phi _{3}}$ , ${\displaystyle \Phi _{4}}$ , ${\displaystyle V_{i}}$ и ${\displaystyle W_{i}}$ , столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации . Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например ,

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'.}$

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973 ), Уилла (1981 , 2014 ) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981 . Процесс состоит из девяти стадий :

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ , гравитационное скалярное ${\displaystyle \phi }$ , векторное ${\displaystyle K_{\mu }}$ и/или тензорное поле ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ , космологическое время ${\displaystyle t}$ и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.

• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$ , ${\displaystyle \phi _{0}}$ , ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$ , ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$ .

• Шаг 3: Вводим новые переменные ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$ , а если необходимо, то и ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$ , ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$ , ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$ .

• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ и прочих динамических гравитационных переменных.

• Шаг 5: Решаем уравнения для ${\displaystyle h_{00}}$ с точностью до ${\displaystyle O(2)}$ . Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$ , где ${\displaystyle U}$ — гравитационный потенциал Ньютона, а ${\displaystyle \alpha }$ может быть сложной функцией, включающей гравитационную «постоянную» ${\displaystyle G}$ . Ньютонова метрика имеет форму ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$ , ${\displaystyle g_{0j}=0}$ , ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$ . Переходим к единицам, в которых гравитационная «постоянная», измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице ${\displaystyle G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$ .

• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем ${\displaystyle h_{ij}}$ с точностью до ${\displaystyle O(2)}$ и ${\displaystyle h_{0j}}$ с точностью до ${\displaystyle O(3)}$ .

• Шаг 7: Находим ${\displaystyle h_{00}}$ с точностью до ${\displaystyle O(4)}$ . Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.

• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.

• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье « Альтернативные теории гравитации ».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма , метрика равна ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ и поэтому ${\displaystyle \gamma =-1}$ , что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, , метрика равна ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ и, следовательно, ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$ , что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа . Для них ${\displaystyle \xi =\beta }$ . Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ , то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение ${\displaystyle \xi }$ .

Ещё один класс теорий — биметрические теории . Для них ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$ , и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут , например, теория Бранса — Дике . Для таких теорий в первом приближении ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$ . Предел ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ даёт очень малое ${\displaystyle 1/\omega }$ , которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на ${\displaystyle \omega }$ всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — . Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$ , так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры

Значения взяты из обзора Уилла, 2014

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
${\displaystyle \gamma -1}$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}}$	Эффект Шапиро , Гравитационное отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
${\displaystyle \beta -1}$	${\displaystyle 8\cdot 10^{-5}}$	, Сдвиг перигелия	Лазерная локация Луны , движения планет в Солнечной системе
${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-9}}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Сдвиг плоскости орбиты	Лазерная локация Луны , пульсар J1738+0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-9}}$	Прецессия оси вращения	Миллисекундные пульсары
${\displaystyle \alpha _{3}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-20}}$		Статистика замедления пульсаров
${\displaystyle \zeta _{1}}$	${\displaystyle 0.02}$	-	Комбинированный предел разных экспериментов
${\displaystyle \zeta _{2}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Ускорение двойных пульсаров
${\displaystyle \zeta _{3}}$	${\displaystyle 10^{-8}}$	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
${\displaystyle \zeta _{4}}$	${\displaystyle 0.006}$ ‡	-	Не является независимым

‡ По ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ из работ Уилла (1976 , 2014 ). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$ из статьи Ни (1972 ).

Примечания

Литература

Основная

• Уилл К. Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М. : Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6 .
• Will C. M. (англ.) // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17 , no. 4 . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : . 19 марта 2015 года.

Дополнительная

• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. . — М. : Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
• Эддингтон А. С. . — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. . — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // The Astrophysical Journal . — IOP Publishing , 1972. — Vol. 176 . — P. 769 . — doi : . — Bibcode : .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169 . — P. 1017—1025 . — doi : . — Bibcode : .
• Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180 . — P. 1293—1298 . — doi : . — Bibcode : .
• Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // The Astrophysical Journal . — IOP Publishing , 1971. — Vol. 163 . — P. 611 . — doi : . — Bibcode : .
• Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // The Astrophysical Journal . — IOP Publishing , 1976. — Vol. 204 . — P. 224—234 . — doi : . — Bibcode : .
• Will C. M. , Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // The Astrophysical Journal . — IOP Publishing , 1972. — Vol. 177 . — P. 757 . — doi : . — Bibcode : .

См. также

• Проверка общей теории относительности
• — аналог ППН формализма в электрослабой теории