Гравитацио́нный ра́диус (или ра́диус Шва́рцшильда ) представляет собой характерный радиус , определённый для любого физического тела , обладающего массой : это радиус сферы , на которой находился бы горизонт событий , создаваемый этой массой (с точки зрения ОТО) , если бы она была распределена сферически симметрично, была бы неподвижной (в частности, не вращалась, но радиальные движения допустимы) и целиком лежала бы внутри этой сферы. Введён в научный обиход немецким учёным Карлом Шварцшильдом в 1916 году .

Величина

Гравитационный радиус пропорционален массе тела M и равен ${\displaystyle r_{g}=2GM/c^{2},}$ где G — гравитационная постоянная , с — скорость света в вакууме . Это выражение можно переписать как r _g ≈ 1,48·10 ⁻²⁷ · ( M / 1 кг ) м . Для астрофизиков удобной является запись r _g ≈ 2,95 · ( M / M _⊙ ) км , где M _⊙ — масса Солнца.

При переходе к планковскому масштабу ${\displaystyle \ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}}$ ≈ 10 ⁻³⁵ м , удобной является запись в форме ${\displaystyle r_{g}=2\,(G/c^{3})Mc}$ (см. также виртуальная чёрная дыра ).

Свойства

По величине гравитационный радиус совпадает с радиусом сферически-симметричного тела, для которого в классической механике вторая космическая скорость на поверхности была бы равна скорости света . Данный факт не случаен, он является следствием того, что классическая механика и ньютоновская теория тяготения содержатся в общей теории относительности как её предельный случай . На важность этой величины впервые обратил внимание Джон Мичелл в своём письме к Генри Кавендишу , опубликованном в 1784 году . В рамках общей теории относительности гравитационный радиус (в других координатах) впервые вычислил в 1916 году Карл Шварцшильд (см. метрика Шварцшильда ) .

Гравитационный радиус обычных астрофизических объектов ничтожно мал по сравнению с их действительным размером: так, для Земли r _g ≈ 0,887 см , для Солнца r _g ≈ 2,95 км . Исключение составляют нейтронные звёзды и гипотетические бозонные и кварковые звёзды . Например, для типичной нейтронной звезды радиус Шварцшильда составляет около 1/3 от её собственного радиуса. Это обусловливает важность эффектов общей теории относительности при изучении таких объектов. Гравитационный радиус объекта с массой наблюдаемой вселенной был бы равен примерно 10 миллиардам световых лет .

С достаточно массивными звёздами (как показывает расчёт, с массой больше двух-трёх солнечных масс) в конце их эволюции может происходить процесс, называемый релятивистским гравитационным коллапсом : если, исчерпав ядерное «горючее», звезда не взрывается и не теряет массу, то, испытывая релятивистский гравитационный коллапс, она может сжаться до размеров гравитационного радиуса. При гравитационном коллапсе звезды до сферы ${\displaystyle r_{g}}$ наружу не может выходить никакое излучение, никакие частицы. С точки зрения внешнего наблюдателя, находящегося далеко от звезды, с приближением размеров звезды к ${\displaystyle r_{g}}$ собственное время частиц звезды неограниченно замедляет темп своего течения. Поэтому для такого наблюдателя радиус коллапсирующей звезды приближается к гравитационному радиусу асимптотически , никогда не становясь равным ему. Но можно, однако, указать момент, начиная с которого внешний наблюдатель уже не будет видеть звезду и не сможет узнать какую-либо информацию относительно неё. Так что с этого момента вся информация, содержащаяся в звезде, фактически будет потеряна для внешнего наблюдателя .

Физическое тело, испытавшее гравитационный коллапс и достигшее гравитационного радиуса, называется чёрной дырой . Сфера радиуса r _g совпадает с горизонтом событий невращающейся чёрной дыры. Для вращающейся чёрной дыры горизонт событий имеет форму эллипсоида , и гравитационный радиус даёт оценку его размеров. Радиус Шварцшильда для сверхмассивной чёрной дыры в центре нашей Галактики равен примерно 16 миллионам километров .

Шварцшильдовский радиус объекта, имеющего спутники, во многих случаях может быть измерен с гораздо более высокой точностью, чем масса этого объекта. Этот несколько парадоксальный факт связан с тем, что при переходе от измеренных периода обращения спутника T и большой полуоси его орбиты a (эти величины можно измерить с очень высокой точностью) к массе центрального тела M необходимо разделить гравитационный параметр объекта μ = GM = 4π ² a ³ / T ² на гравитационную постоянную G , которая известна с гораздо худшей точностью (примерно 1 к 7000 на 2018 год), чем точность большинства других фундаментальных констант. В то же время шварцшильдовский радиус равен, с точностью до коэффициента 2/ с ² , гравитационному параметру объекта:

${\displaystyle r_{g}={\frac {2GM}{c^{2}}}={\frac {2\mu }{c^{2}}}\ ,}$

причём скорость света c в настоящее время является по определению абсолютно точным переходным коэффициентом, поэтому относительные погрешности измерения гравитационного параметра и гравитационного радиуса равны друг другу.

Примеры

Так, например, упомянутый выше шварцшильдовский радиус Солнца равен:

${\displaystyle r_{g\odot }={\frac {2GM_{\odot }}{c^{2}}}={\frac {2\mu _{\odot }}{c^{2}}}=2{,}953\,250\,077(2)\ {\text{км}}}$ с относительной погрешностью 8·10 ⁻¹¹ , тогда как масса Солнца 1,988 744(93)·10 ³⁰ кг известна лишь с относительной погрешностью 4,7·10 ⁻⁵ .

Аналогично, шварцшильдовский радиус Земли равен:

${\displaystyle r_{g\oplus }={\frac {2GM_{\oplus }}{c^{2}}}={\frac {2\mu _{\oplus }}{c^{2}}}=8{,}870\,056\,078(18)\ {\text{мм}}}$ с относительной погрешностью 2·10 ⁻⁹ , тогда как масса Земли 5,973 236(28)·10 ²⁴ кг известна лишь с относительной погрешностью 4,7·10 ⁻⁵ .

Примечания

Литература

• Мизнер Ч. , Торн К. , Уилер Дж. Гравитация . — М. : Мир, 1977. — Т. 1—3.
• Шапиро С. Л., Тьюколски С. А. Чёрные дыры, белые карлики и нейтронные звезды / Пер. с англ. под ред. Я. А. Смородинского. — М. : Мир, 1985. — Т. 1—2. — 656 с.
• Иэн Стюарт. Математика космоса. Как современная наука расшифровывает Вселенную = Stewart Ian. Calculating the Cosmos: How Mathematics Unveils the Universe. — Альпина Паблишер, 2018. — 542 p. — ISBN 978-5-91671-814-0 .

Ссылки

• Schaffer, Simon. (англ.) // Journal for the History of Astronomy . — 1979. — Vol. 10 . — P. 42—43 . — doi : . — Bibcode : .