Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор ${\displaystyle U}$ : ${\displaystyle H}$ → ${\displaystyle H}$ на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ , который удовлетворяет соотношению

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

где ${\displaystyle U^{*}}$ — эрмитово сопряжённый к ${\displaystyle U}$ оператор, и ${\displaystyle I}$ : ${\displaystyle H}$ → ${\displaystyle H}$ единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть для всех векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}$
2. ${\displaystyle U}$ — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение , и
2. образ ${\displaystyle U}$ — плотное множество .

Чтобы увидеть это, заметим, что ${\displaystyle U}$ изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение. Образ ${\displaystyle U}$ — плотное множество . Очевидно, что ${\displaystyle U^{-1}}$ = ${\displaystyle U^{*}}$ .

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор ${\displaystyle {\hat {H}}}$ эрмитов , то оператор ${\displaystyle {\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})}$ унитарен.

Примеры

• Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора.
• Вращения в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .
• В векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел умножение на число с модулем ${\displaystyle 1}$ , то есть число вида ${\displaystyle e^{i\theta }}$ для ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ , является унитарным оператором. ${\displaystyle \theta }$ называется фазой. Можно заметить, что значение ${\displaystyle \theta }$ , кратное ${\displaystyle 2\pi }$ , не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ топологически эквивалентно окружности.

Свойства

• Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора . По этой теореме, U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$ , для некоторого пространства с мерой ( ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle \mu }$ ). Из ${\displaystyle UU^{*}=I}$ следует ${\displaystyle |f(x)|^{2}=1}$ .

Унитарные преобразования в физике

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве . Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени , и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы в квантовой механике запрещены.

Литература

• Унитарный оператор // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — ( Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).

Примечания