Объёмный мо́дуль упру́гости (другие названия: модуль объёмного сжатия , модуль всестороннего сжатия ) — характеристика способности вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет связь между относительным изменением объёма тела и вызвавшим это изменение давлением. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 М Па ; это число показывает, что для уменьшения объёма воды на 1 % необходимо приложить внешнее давление величиной 20 МПа . С другой стороны, при увеличении внешнего давления на 0,1 МПа объём воды уменьшается на 1/20 000 часть . Единицей измерения объёмного модуля упругости в Международной системе единиц (СИ) является паскаль (русское обозначение: «Па»; международное: «Pa») .

Определение

Модуль объёмной упругости определяется формулой:

${\displaystyle K=-V{\frac {dp}{dV}},}$

где ${\displaystyle p}$ — давление, а ${\displaystyle V}$ — объём.

Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия .

Можно показать, что в случае модуль объёмной упругости может быть выражен через любые две из нижеперечисленных величин: модуль Юнга ${\displaystyle E}$ , коэффициент Пуассона ${\displaystyle \nu }$ , модуль сдвига ${\displaystyle G}$ , первый параметр Ламэ ${\displaystyle \lambda }$ :

${\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}.}$

${\displaystyle K={\frac {EG}{3(3G-E)}}.}$

${\displaystyle K={\frac {E+3\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{6}}.}$

${\displaystyle K={\frac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}.}$

${\displaystyle K={\frac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}.}$

${\displaystyle K=\lambda +{\frac {2G}{3}}.}$

Термодинамические соотношения

Строго говоря, объёмный модуль упругости является термодинамической величиной, и необходимо определить объёмный модуль упругости в зависимости от условий изменения температуры: при постоянной температуре (изотермический ${\displaystyle K_{T}}$ ), при постоянной энтропии ( адиабатический ${\displaystyle K_{S}}$ ) и т. д. В частности, подобные различия обычно важны для газов .

В случае идеального газа изотермический и адиабатический модули объёмной упругости выражаются простыми формулами. Так, из уравнения изотермы идеального газа ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {const} }{V}}}$ следует:

${\displaystyle K_{T}=P\,.}$

Используя уравнение адиабаты ${\displaystyle p\,\cdot V^{\gamma }=\mathrm {const} ,}$ можно получить

${\displaystyle K_{S}=\gamma P,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты .

Приведённые уравнения, выполняющиеся точно для идеальных газов , применительно к реальным газам становятся приближёнными.

Для жидкостей объёмный модуль упругости K и плотность ρ определяют скорость звука c ( ), согласно формуле Ньютона — Лапласа

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

Измерение

Объёмный модуль упругости можно измерить с помощью порошковой рентгеновской дифракции , акустополяризационного метода (для твёрдых сред).

Некоторые значения

Примечания

1. ↑ (неопр.) . hyperphysics . Georgia State University. Дата обращения: 1 октября 2011. 30 августа 2012 года.
2. Cohen M. Calculation of bulk moduli of diamond and zinc-blende solids (англ.) // Physical Review B. — 1985. — Vol. 32 . — P. 7988—7991 . — doi : . — Bibcode : .
3. Fluegel, Alexander (неопр.) . glassproperties.com . Дата обращения: 1 октября 2011. Архивировано из 30 августа 2012 года.
4. Malinowska-Adamska C. , Słoma P. , Tomaszewski J. (англ.) // Physica Status Solidi B. — 2003. — Vol. 240 , iss. 1 . — P. 55—67 . — ISSN . — doi : . [ ]