Аппроксима́ция (от лат. proxima — ближайшая) или приближе́ние — научный метод , состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения , в частности, приближения иррациональных чисел рациональными . В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными . Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций , численные методы анализа .

В переносном смысле употребляется в философии как метод приближения , указание на приблизительный, неокончательный характер. Например, в таком смысле термин «аппроксимация» активно употреблялся Сёреном Кьеркегором (1813—1855) в «Заключительном ненаучном послесловии…».

Остаточный член

Остаточный член — разность между заданной функцией и функцией её аппроксимирующей. Тем самым оценка остаточного члена является оценкой точности рассматриваемой аппроксимации. Этот термин применяется, например, в формуле ряда Тейлора .

Примеры

• Приблизить действительное число ${\displaystyle \alpha }$ дробью со знаменателем ${\displaystyle n}$ — это значит из всех дробей со знаменателями ${\displaystyle n}$ найти ближайшую к числу ${\displaystyle \alpha }$ .
• Для приближённого вычисления интеграла используется формула прямоугольников или формула трапеций , или более сложная формула Симпсона . Фактически при этом происходит приближение ступенчатой функцией или вписанной ломаной, интеграл от которой считается мгновенно.
• Для вычисления значений сложных функций часто используется вычисление значения отрезка ряда , аппроксимирующего функцию.
• Для обработки экспериментальных или натурных данных. Тут следует рассматривать два случая: 1) аппроксимирующая функция ограничена диапазоном заданных точек и служит в качестве только интерполирующей зависимости; 2) аппроксимирующая функция выступает в роли физического закона и с её помощью допускается экстраполировать переменные. Приведем пример. Пусть на основе натурных наблюдений получены следующие пары чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .:

${\displaystyle x\qquad y}$

${\displaystyle 2\quad 0.3842}$

${\displaystyle 3\quad 1.1062}$

${\displaystyle 4\quad 2.6291}$

${\displaystyle 5\quad 7.8320}$

${\displaystyle 6\quad 17.379}$

${\displaystyle 7\quad 36.607}$

${\displaystyle 8\quad 66.696}$

${\displaystyle 9\quad 104.43}$

Если функция будет использована только для интерполяции , то достаточно аппроксимировать точки полиномом, скажем, пятой степени:

${\displaystyle y=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+fx+k}$

где:

${\displaystyle a=-0.0190543}$

${\displaystyle b=0.4874708}$

${\displaystyle c=-4.3207141}$

${\displaystyle d=18.3040989}$

${\displaystyle f=-36.58884}$

${\displaystyle k=27.7555259}$

Намного сложней обстоит дело в случае, если приведенные выше натурные данные служат опорными точками для выявления закона изменения ${\displaystyle y=F(x)}$ с известными граничными условиями. Например: ${\displaystyle F(0)=0}$ и ${\displaystyle F(\infty )\to \infty }$ . Тут уже качество результата зависит от профессионализма исследователя. В данном случае наиболее приемлемым окажется закон:

${\displaystyle y=ax^{b}\mathrm {arctg} {\big (}e^{cx^{d}+f}{\big )}}$

где:

${\displaystyle a=1.87926}$

${\displaystyle b=1.76696}$

${\displaystyle c=0.532588}$

${\displaystyle d=1.01509}$

${\displaystyle f=-4.16485}$

Для оптимального подбора параметров уравнений обычно используют метод наименьших квадратов .

См. также

• Абстрагирование
• Моделирование
• Интерполяция
• Экстраполяция
• Теорема Ока об аппроксимации

Литература

• Лоран, П. Ж. Аппроксимация и оптимизация. — М.: Мир, 1975. — С. 496.
• Виноградов, В. Н., Гай Е. В., Работнов Н. С. Аналитическая аппроксимация данных в ядерной и нейтронной физике. — М.: Энергоатомиздат , 1987. — 128 с.