Круг — часть плоскости, которая лежит внутри окружности . Другими словами, это геометрическое место точек плоскости , расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа ${\displaystyle R.}$ Число ${\displaystyle R}$ называется радиусом этого круга . Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Круг, имеющий толщину (незначительную по сравнению с радиусом), нередко называют диском . Однако в топологии слова круг и ( замкнутый ) диск являются синонимами.

Границей круга по определению является окружность . Открытый круг ( внутренность круга) получится, если потребовать строгое неравенство: расстояние до центра ${\displaystyle <R}$ . При нестрогом ( ${\displaystyle \leqslant }$ ) неравенстве получается определение замкнутого круга, который содержит и точки граничной окружности.

Связанные определения

• Радиус — отрезок , соединяющий центр круга с его границей.
• Диаметр — отрезок, соединяющий две точки границы круга и содержащий его центр.
• Сектор — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
• Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой .
• Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Эти и другие элементы круга, а также соотношения между ними описаны в статье Окружность .

Свойства

• При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.
• Круг является выпуклой фигурой .
• Площадь круга радиуса ${\displaystyle R}$ вычисляется по формуле: ${\displaystyle S=\pi R^{2}}$ , где ${\displaystyle \pi }$ ≈ 3.14159….
• Площадь сектора равна ${\displaystyle S={\frac {\alpha R^{2}}{2}}}$ , где α — угловая величина дуги в радианах , ${\displaystyle R}$ — радиус.
• Периметр круга (длина граничной окружности): ${\displaystyle L=2\pi R}$ .
• ( Изопериметрическое неравенство ) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.

История

История исследования свойств круга и окружности, а также применение этих свойств в человеческой практике уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса . Ещё в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру ( число π ) одно и то же для всех окружностей.

Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему « квадратуры круга ». В дальнейшем развитие исследований привело к созданию тригонометрии , теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.

Обобщения

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств . В отличие от случая евклидовых пространств , при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии .

Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть ${\displaystyle \rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$ , то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами ${\displaystyle (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}$ .

Примечания

Литература

• Атанасян Л. С. , Бутузов В. Ф. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М. : Вита-Пресс, 2003.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 стр.