Аналити́ческая геоме́трия — раздел геометрии , в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры .

В основе этого метода лежит так называемый метод координат , впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение , связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике . В математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной , алгебраической , комбинаторной и вычислительной геометрии .

Историческая справка

Идея координат и уравнения кривой была не чужда ещё древним грекам . Архимед , и особенно Аполлоний Пергский , в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальнейшего развития эта идея тогда не получила по причине невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности.

Потом в Европе использовал координатное изображение (для функции, зависящей от времени) Николай Орезмский (XIV век), который называл координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии . Решающий шаг был сделан после того, как Виет ( XVI век ) сконструировал символический язык для записи уравнений и положил начало системной (символической) алгебре.

Около 1637 года Ферма распространил через Мерсенна мемуар « Введение в изучение плоских и телесных мест », где выписал (в символике Виета) уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах . Для упрощения вида уравнений он широко использовал преобразование координат . Ферма наглядно показал, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела « Геометрия » Декарта , вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи.

Декарт включил в геометрию более широкий класс кривых, в том числе «механические» ( трансцендентные , вроде спирали ), и провозгласил, что у каждой кривой есть определяющее уравнение. Он построил такие уравнения для алгебраических кривых и провёл их классификацию (позже основательно переделанную Ньютоном ). Декарт подчеркнул, хотя и не доказал, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат .

Система координат у Декарта была перевёрнута по сравнению с современной (ось ординат горизонтальна), и отрицательные координаты не рассматривались. Термины « абсцисса » и « ордината » изредка встречались у разных авторов, хотя в широкое употребление их ввёл только Лейбниц в конце XVII века, вместе с термином « координаты ». Название « Аналитическая геометрия » утвердилось в самом конце XVIII века.

Декарт поместил в «Геометрию» множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним. Возможные пространственные применения он также упомянул, но эта идея не получила у него развития.

Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение ван Схоутен , Валлис и многие другие видные математики. Они комментировали и дополняли идеи « Геометрии », исправляли её недочёты, применяли новый метод в других задачах. Например, Валлис впервые рассмотрел конические сечения как плоские кривые (1655 год), причём, в отличие от Декарта, он уже использовал отрицательные абсциссы и косоугольные координаты.

Ньютон не только опирался на координатный метод в своих работах по анализу, но и продолжил геометрические исследования Декарта. Он классифицировал кривые 3-го порядка, выделив 4 типа и 58 видов; позже он добавил ещё 14. Эти результаты были получены около 1668 года, опубликованы вместе с его «Оптикой» в 1704 году. Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр , ось симметрии , вершины, центр, асимптоты , особые точки и т. п.

В своих « Началах » Ньютон старался всё доказывать в манере древних, без координат и бесконечно малых; однако несколько применений новых методов там всё же имеется. Гораздо бо́льшую роль аналитическая геометрия играет в его « Всеобщей арифметике », хотя там Ньютон в большинстве случаев не посчитал нужным привести доказательства, чем обеспечил работой на долгие годы целую армию комментаторов.

В первой половине XVIII века в основном продолжалось изучение алгебраических кривых высших порядков; Стирлинг обнаружил 4 новых типа, не замеченных Ньютоном. Были выявлены и классифицированы особые точки .

Клеро в 1729 году представил Парижской академии «Исследования о кривых двоякой кривизны». Эта книга по существу положила начало трем геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии .

Общую и очень содержательную теорию кривых и поверхностей (преимущественно алгебраических) предложил Эйлер . В своём « Введении в анализ бесконечно малых » (1748) он дал классификацию кривых 4-го порядка и показал, как определить радиус кривизны . Там, где это удобно, он использовал косоугольные или полярные координаты . Отдельная глава посвящена неалгебраическим кривым.

Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку зрелого анализа, завоевала новые вершины ( Лагранж , Монж ), однако рассматривается уже скорее как аппарат дифференциальной геометрии .

Разделы

Основные разделы аналитической геометрии (согласно книге Н. В. Ефимова).

• Системы координат
  • Прямоугольная система координат
  • Полярная система координат
  • Преобразование координат
• Элементы линейной алгебры
  • Линейные операции над векторами
  • Произведения векторов
  • Матрицы и операции над ними
  • Определители
  • Обратная матрица и ранг матрицы
  • Системы линейных алгебраических уравнений
• Кривые первого порядка
  • Прямая на плоскости
  • Прямая и плоскость в пространстве
• Кривые второго порядка
  • Окружность
  • Коническое сечение
• Спираль
• Пространственные тела
  • Поверхности второго порядка
  • Цилиндр
  • Сфера
  • Конус
  • Шар

См. также

• Алгебраическая геометрия
• Дифференциальная геометрия
• Линейная алгебра
• Векторное исчисление

Примечания

Литература

• Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 2005. — 496 с. (Серия «Прикладная математика»).
• Веселов А. П., Троицкий Е. В. . — СПб. : Лань, 2003. — 160 с.
• Делоне Б. Н. , Райков Д. А. Аналитическая геометрия, в двух томах. — М., Л.: Гостехиздат , 1948, 1949.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III.
• Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8 .
• Мордухай-Болтовской Д. Д. // Труды института истории естествознании Акад. наук СССР, 1952, т. 4, с. 217—235.
• Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. — 3-е изд.. — М. : Наука, 1968. — 176 с.
• Умнов А. Е. (pdf) — 544 с. ISBN 978-5-7417-0378-6 (на портале автора)