История логарифмов как алгебраического понятия прослеживается с античных времён. Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт, известный ещё во времена Архимеда , что при перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются : ${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}}$ .

Предшественники

Индийский математик VIII века Вирасена , исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4 .

Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней . В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной . Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня .

Первым эту идею опубликовал в своей книге « Arithmetica integra » (1544) Михаэль Штифель , который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи . Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным (первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Никола Шюке в XV веке).

Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов»

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием « Описание удивительной таблицы логарифмов » ( лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов , косинусов и тангенсов , с шагом 1'. Термин логарифм , предложенный Непером, утвердился в науке.

Непер так объяснил цель своих трудов :

Поскольку в практике математического искусства, собратья-математики, нет ничего более утомительного, чем огромные задержки, которые приходится терпеть в ходе долгих рутинных действий — умножения и деления, поиска отношений и извлечения квадратных и кубических корней, — и многочисленные ошибки, которые могут при этом закрасться в ответ, — то я размышлял упорно, посредством какого надёжного и быстрого искусства я смог бы, возможно, разрешить указанные трудности. В конце концов, после длительных раздумий, я нашел поразительный способ сократить указанные действия… Представить этот метод математикам для общего пользования — приятная задача.

Теорию расчёта таблиц логарифмов Непер изложил в другой своей книге « Построение удивительной таблицы логарифмов » ( лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году . Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты ; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций .

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически , сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом :

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением :

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}}}$ ,

где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков ( десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию ${\displaystyle \operatorname {LogNap} (x)}$ , то она связана с натуральным логарифмом следующим образом :

${\displaystyle \operatorname {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))}$

Очевидно, ${\displaystyle \operatorname {LogNap} (M)=0}$ , то есть логарифм «полного синуса» (соответствующего 90°) есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для ${\displaystyle x<M}$ выполняется. ${\displaystyle \operatorname {LogNap} (0)=\infty }$ .

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию , то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую . Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:

${\displaystyle \operatorname {LogNap} (a\cdot b)=\operatorname {LogNap} (a)+\operatorname {LogNap} (b)-\operatorname {LogNap} (1)}$

Дальнейшее развитие

Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака . Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц ( лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) . Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц , которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии .

Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов (1617), причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайдел переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайдела тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 (причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю) — хотя масштабирование до целых чисел Спайдел сохранил .

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку , до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера . С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций . Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В 1629 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ меняется по логарифмическому закону . В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман) открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный « ряд Меркатора » . По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:

1. Формирование и признание общего понятия иррациональных и трансцендентных чисел .
2. Появление показательной функции и общего понятия числовой функции , числа Эйлера , развитие теории разностных уравнений .
3. Начало работы с бесконечными рядами .
4. Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
5. Существенное развитие теории численных методов , требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log , то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log : ${\displaystyle \log _{a}b}$ . Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — ${\displaystyle \lg ,\;\ln }$ для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века .

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером . В книге «Введение в анализ бесконечных» ( 1748 ) Эйлер дал современные определения как показательной , так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма . Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область .

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам (раздел « Антилогарифмы ») выполнить потенцирование , то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций , причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Йост Бюрги , друг Кеплера ( 1620 ). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги ( 1783 ) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера ) .

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов :

1. Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
3. Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Классические шестизначные таблицы, удобные для расчётов с тригонометрическими функциями .
4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Расширение логарифма на комплексную область

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить ${\displaystyle \log(-x)=\log(x)}$ , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей « Энциклопедии » и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа , исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции , определяемой как интеграл от ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$ . Риман , опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей .

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии , возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм .

Литература

• Абельсон И. Б. . — М. — Л. : Гостехиздат, 1948. — 231 с.
• Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1952. — 33 с.
• Клейн Ф. . — М. : Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Математика XVII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1972. — Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М. : Наука, 1981. — Т. II.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Примечания