В параллельном соединении имеется ${\displaystyle n}$ пружин с жёсткостями ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.}$ Из III закона Ньютона, ${\displaystyle F=F_{1}+F_{2}+\ldots +F_{n}.}$ (К ним прикладывается сила ${\displaystyle F}$ . При этом к пружине 1 прикладывается сила ${\displaystyle F_{1},}$ к пружине 2 сила ${\displaystyle F_{2},}$ … , к пружине ${\displaystyle n}$ сила ${\displaystyle F_{n}.}$ )

Теперь из закона Гука ( ${\displaystyle F=-kx}$ , где x - удлинение) выведем: ${\displaystyle F=kx;F_{1}=k_{1}x;F_{2}=k_{2}x;...;F_{n}=k_{n}x.}$ Подставим эти выражения в равенство (1): ${\displaystyle kx=k_{1}x+k_{2}x+\ldots +k_{n}x;}$ сократив на ${\displaystyle x,}$ получим: ${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{n},}$ что и требовалось доказать.

В последовательном соединении имеется ${\displaystyle n}$ пружин с жёсткостями ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.}$ Из закона Гука ( ${\displaystyle F=-kl}$ , где l - удлинение) следует, что ${\displaystyle F=k\cdot l.}$ Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения ${\displaystyle l_{1}+l_{2}+\ldots +l_{n}=l.}$

На каждую пружину действует одна и та же сила ${\displaystyle F.}$ Согласно закону Гука, ${\displaystyle F=l_{1}\cdot k_{1}=l_{2}\cdot k_{2}=\ldots =l_{n}\cdot k_{n}.}$ Из предыдущих выражений выведем: ${\displaystyle l=F/k,\quad l_{1}=F/k_{1},\quad l_{2}=F/k_{2},\quad ...,\quad l_{n}=F/k_{n}.}$ Подставив эти выражения в (2) и разделив на ${\displaystyle F,}$ получаем ${\displaystyle 1/k=1/k_{1}+1/k_{2}+\ldots +1/k_{n},}$ что и требовалось доказать.