Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство , элементами которого являются непрерывные на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функции (обычно обозначается ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ , иногда ${\displaystyle C^{0}[a,b]}$ или ${\displaystyle C^{(0)}[a,b]}$ или ${\displaystyle C(a,b)}$ ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

${\displaystyle \|x\|_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|}$

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой , так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости .

Свойства

• Если последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ элементов из ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции ${\displaystyle x(t)}$ , то ${\displaystyle x_{n}\rightrightarrows x}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ .
  • Отсюда: ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ — банахово пространство .
• Пространство непрерывных функций сепарабельно : счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса .
• В ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$ не выполняется тождество параллелограмма , поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения .

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями . В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань .

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций ( вектор-функций ) ${\displaystyle C(X,Y)}$ называется множество всех непрерывных ограниченных функций ${\displaystyle x:X\to Y}$ со введённой на нём нормой:

${\displaystyle \|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.}$

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

${\displaystyle \|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt}$

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства . Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n}}\\nt,\quad t\in (-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}})\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n}}\end{cases}}}$

Его пополнение есть ${\displaystyle L_{1}[a,b]}$ — пространство суммируемых функций .

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. И. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука , 2004 .
• Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М. : Наука , 1965 .
• M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973 .
• Иосида К. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967 .