Чебышёвский альтерна́нс (или просто альтерна́нс ) (от фр. alternance — «чередование») — в математике такой набор точек ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<...<x_{N}}$ , в которых непрерывная функция одной переменной ${\displaystyle g(x)}$ последовательно принимает своё максимальное по модулю значение, при этом знаки функции в этих точках ${\displaystyle g(x_{1}),}$ ${\displaystyle g(x_{2}),...,}$ ${\displaystyle g(x_{N})}$ — чередуются.

Такая конструкция впервые встретилась в теореме о характеризации полинома наилучшего приближения, открытой П. Л. Чебышёвым в XIX веке. Сам термин альтернанс был введён И. П. Натансоном в 1950-е годы.

Теорема Чебышёва об альтернансе

Чтобы многочлен ${\displaystyle Q_{n}(x)}$ степени ${\displaystyle n}$ был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции ${\displaystyle f(x)}$ , необходимо и достаточно существования на ${\displaystyle [a,b]}$ по крайней мере ${\displaystyle n+2}$ точек ${\displaystyle x_{0}<...<x_{n+1}}$ таких, что

${\displaystyle f(x_{i})-Q_{n}(x_{i})=\alpha (-1)^{i}||f-Q_{n}||}$,

где ${\displaystyle i=0,...,n+1,\alpha =\pm 1}$ одновременно для всех ${\displaystyle i}$ .

Точки ${\displaystyle x_{0}<...<x_{n+1}}$ , удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функции

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени) на интервале (1, 64). Из условия теоремы, нам необходимо найти ${\displaystyle n+2}$ (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому, в силу выпуклости разности квадратного корня и линейной функции, таковыми точками являются единственная точка экстремума этой разности и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим ${\displaystyle a=1,b=64}$ . ${\displaystyle d}$ — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

${\displaystyle {\sqrt {1}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 1)=\alpha L}$

${\displaystyle {\sqrt {d}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times d)=-\alpha L}$

${\displaystyle {\sqrt {64}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 64)=\alpha L}$

Здесь ${\displaystyle \alpha L}$ — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1}{9}}=0,(1)}$

Так как ${\displaystyle d}$ — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение ${\displaystyle d}$ можно из следующего уравнения:

${\displaystyle ({\sqrt {x}})'(d)-\alpha _{1}=0}$

Отсюда ${\displaystyle d=20{\frac {1}{4}}=20,25}$

Теперь можно вычислить ${\displaystyle \alpha _{0}}$

${\displaystyle \alpha _{0}={\frac {113}{72}}=1,569(4)}$

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ на интервале от 1 до 64:

${\displaystyle {\frac {1}{9}}x+{\frac {113}{72}}}$ .

См. также

• Алгоритм Ремеза
• Многочлены Чебышёва

Литература

• Бахвалов, Н. С. ; Жидков, Н. П.; Кобельков, Г. Н. Численные методы
• Ульянов, М. В. Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы.

Ссылки