Монотонная последовательность — это последовательность , элементы которой с увеличением номера не возрастают, или, наоборот, не убывают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество ${\displaystyle X}$ , на котором введено отношение порядка .

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется неубывающей , если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — неубывающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}$

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется невозрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — невозрастающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}$

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется возрастающей , если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — возрастающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1}}$

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется убывающей , если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — убывающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}$

Последовательность называется монотонной , если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Последовательность называется строго монотонной , если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , а лишь для номеров из некоторого диапазона

${\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}}$

(здесь допускается обращение правой границы ${\displaystyle N_{+}}$ в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке ${\displaystyle I}$ , а сам диапазон ${\displaystyle I}$ называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

• Последовательность натуральных чисел .
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=n}$ .
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )}$ .
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи .
  • ${\displaystyle x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{n-1}+x_{n-2},&n\geqslant 3\end{cases}}}$
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )}$ .
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием ${\displaystyle 1/2}$ .
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}}$ .
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (1,1/2,1/4,1/8,1/16,\cdots )}$ .
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел .
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e .
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ .
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (2,9/4,64/27,625/256,\cdots )}$ .
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел , но сходится к трансцендентному числу .
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида ${\displaystyle x_{n}=\,\!(n-5)^{2}}$ не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке ${\displaystyle \{1,\,\!2,3,4\}}$ и (строго) возрастает на промежутке ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid n\geqslant 5\}}$ .

Свойства

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.( Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях )
  • Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом .
  • Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

Примечания

1. В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Глава 3. Теория пределов // / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 . 23 июня 2015 года.

См. также

• Монотонная функция