Неравенство Чебышёва для сумм , носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва , утверждает, что если

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}$

и

${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n},}$

то

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Аналогично, если

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}$

и

${\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \cdots \leqslant b_{n},}$

то

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Доказательство

Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства :

Предположим, что

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}$

и

${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n}.}$

В виду перестановочного неравенства выражение

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}}$

получаем

${\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geqslant (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n});}$

или, разделив на ${\displaystyle n^{2}}$ :

${\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geqslant {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}.}$

Непрерывный случай

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.}$