Interested Article - Параметрический осциллятор

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью .

Математика

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса $m$ , коэффициент упругости $k$ и коэффициент затухания $\beta$ . Если эти коэффициенты зависят от времени, и $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$ , то уравнение движения имеет вид

{\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,

$(1)$

Сделаем замену переменной времени $t$ → $\tau$ , где $d\tau =dt/m(t)$ , что приводит уравнение (1) к виду

{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,

$(2)$

Сделаем еще одну замену $x(\tau )$ → $q(\tau )$ :

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )=km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(4)$

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

$(5)$

которое получилось бы из уравнения (1) при $m=const$ .

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}$ , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости $\omega (t)$ уравнение (5) является уравнением Хилла , а в случае гармонической зависимости $\omega (t)$ — частным случаем уравнения Матье . Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

1. Рассмотрим случай, когда $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(6)$

Где $\omega _{0}$ — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты $h\ll 1$ , постоянная $\varepsilon \ll \omega _{0}$ — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что $h>0$ . Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра $\varepsilon$ , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение $x(t)$ неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},

$(7)$

2. Рассмотрим случай, когда $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

$(8)$

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой $y=2\omega _{0}+\varepsilon$ . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов $h^{2}$ , происходит в случае, когда

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac {1}{32}}h+{\frac {1}{2}},

$(9)$

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]\phi =0,

$(10)$

где $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}$ , и $h={\frac {4a}{l}}$ . В случае, когда $a\ll l$ и ограничиваясь первым порядком разложения по $h$ , получим, что

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}},

$(11)$

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний $\omega =\omega _{0}$ и её удвоенного значения $\omega =2\omega _{0}$ , — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(12)$

Параметрический резонанс имеет место, когда

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

$(13)$

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника $\omega _{0}$ , а ширина резонанса равна $h\omega _{0}$ . Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

$(14)$

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых $h\ll 1$ , а лишь при тех $h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$ . Т.о., при наличии трения

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

,

$(15)$

что позволяет надлежащим выбором параметров $\gamma$ , $\omega _{0}$ , и $h$ , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.