Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие . Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, бутылка Клейна ), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

«Двумерность» поверхности подразумевает возможность реализовать на ней метод координат , хотя и необязательно для всех точек. Так, поверхность Земли (в идеале) представляет собой двумерную сферу , широта и долгота каждой точки которой являются её координатами (за исключением полюсов и 180-го меридиана ).

Концепция поверхности применяется в физике , инженерном деле , компьютерной графике и прочих областях при изучении физических объектов. Например, анализ аэродинамических качеств самолёта базируется на обтекании потоком воздуха его поверхности.

Способы задания

Поверхность определяется как множество точек , координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

${\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)}$

Если функция ${\displaystyle F(x,\,y,\,z)}$ непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью .

Помимо указанного выше неявного способа задания , поверхность может быть определена явно , если одну из переменных, например, z, можно выразить через остальные:

${\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1')}$

Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&x(u,v)\\y&=&y(u,v)\\z&=&z(u,v)\end{array}}\right.\qquad (1'')}$

Понятие о простой поверхности

Интуитивно простую поверхность можно представить как кусок плоскости , подвергнутый непрерывным деформациям ( растяжениям, сжатиям и изгибаниям ).

Более строго, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат , координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) ( параметрическое задание поверхности ). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u', v') были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x', у', z').

Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью . Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью , называется правильной поверхностью .

Поверхность в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями . При этом дополнительно накладывается условие регулярности.

Случай неявного задания . Поверхность, заданная уравнением ${\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0,\;F:\Omega \to \mathbb {R} ^{3}}$ , является гладкой регулярной поверхностью , если ${\displaystyle \exists P_{0}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}):\;F(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0}$ , функция ${\displaystyle F}$ непрерывно дифференцируема в своей области определения ${\displaystyle \Omega }$ , а её частные производные одновременно не обращаются в нуль (условие правильности) на всём множестве ${\displaystyle \Omega }$ :

${\displaystyle \left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}>0}$

Случай параметрического задания . Зададим поверхность векторным уравнением ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)}$ , или, что то же самое, тремя уравнениями в координатах:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x&=&x(u,v)\\y&=&y(u,v)\\z&=&z(u,v)\end{array}}\right.\quad (u,\,v)\in \Omega }$

Эта система уравнений задаёт гладкую регулярную поверхность , если выполнены условия:

• система устанавливает взаимно однозначное соответствие между образом и прообразом ${\displaystyle \Omega }$ ;
• функции ${\displaystyle x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)}$ непрерывно дифференцируемы в ${\displaystyle \Omega }$ ;
• выполнено условие невырожденности:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v}\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix}}^{2}>0}$

Геометрически последнее условие означает, что векторы ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$ нигде не параллельны.

Параметры u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности. Фиксируя одну из координат, мы получаем два семейства координатных кривых , покрывающих поверхность координатной сеткой.

Случай явного задания . Поверхность ${\displaystyle S}$ может быть определена как график функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ; тогда ${\displaystyle S}$ является гладкой регулярной поверхностью , если функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема. Этот вариант можно рассматривать как частный случай параметрического задания: ${\displaystyle x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)}$ .

Касательная плоскость

Касательная плоскость в точке гладкой поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.

Пусть гладкая кривая на параметрически заданной поверхности ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)}$ задана в виде:

${\displaystyle u=u(t);\ v=v(t)}$ .

Направление ${\displaystyle \mathbf {v} }$ касательной к такой кривой даёт вектор:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}{\frac {dv}{dt}}}$

Отсюда видно, что все касательные ко всем кривым в данной точке лежат в одной плоскости, содержащей векторы ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$ , которые мы выше предположили независимыми.

Уравнение касательной плоскости в точке ${\displaystyle \mathbf {r_{0}} =(x_{0},y_{0},z_{0})}$ имеет вид:

${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ,{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right)=0\quad }$ ( смешанное произведение векторов).

В координатах уравнения касательной плоскости для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	касательная плоскость к поверхности в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$
неявное задание	${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x-x_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}(y-y_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(z-z_{0})=0}$
явное задание	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(y-y_{0})=(z-z_{0})}$
параметрическое задание	${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x_{u}'&y_{u}'&z_{u}'\\x_{v}'&y_{v}'&z_{v}'\end{vmatrix}}=0}$

Все производные берутся в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ .

Метрика и внутренняя геометрия

Вновь рассмотрим гладкую кривую:

${\displaystyle u=u(t);\ v=v(t)}$ .

Элемент её длины определяется из соотношения:

${\displaystyle ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$ ,

где ${\displaystyle E=\mathbf {r'_{u}} \mathbf {r'_{u}} ;\ F=\mathbf {r'_{u}} \mathbf {r'_{v}} ;\ G=\mathbf {r'_{v}} \mathbf {r'_{v}} }$ .

Эта квадратичная форма называется первой квадратичной формой и представляет собой двумерный вариант метрики поверхности. Для регулярной поверхности её дискриминант ${\displaystyle EG-F^{2}>0}$ во всех точках. Коэффициент ${\displaystyle F=0}$ в точке поверхности тогда и только тогда, когда в этой точке координатные кривые ортогональны. В частности, на плоскости с декартовыми координатами ${\displaystyle u,\ v}$ получается метрика ${\displaystyle ds^{2}=du^{2}+dv^{2}}$ ( теорема Пифагора ).

Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрики геликоида и катеноида , параметризованных соответствующим образом, совпадают, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины ( изометрия ). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус ) .

Метрические коэффициенты ${\displaystyle E,\ F,\ G}$ определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.

Нормаль и нормальное сечение

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:

${\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {[\mathbf {r'_{u}} ,\mathbf {r'_{v}} ]}{|[\mathbf {r'_{u}} ,\mathbf {r'_{v}} ]|}}}$ .

Знак нормали зависит от выбора координат.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол ${\displaystyle \theta }$ . Тогда кривизна ${\displaystyle k}$ кривой связана с кривизной ${\displaystyle k_{n}}$ нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье :

${\displaystyle k_{n}=\pm k\,\cos \,\theta }$

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
неявное задание	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {\partial F}{\partial x}};\,{\frac {\partial F}{\partial y}};\,{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}}}$
явное задание	${\displaystyle {\frac {\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}};\,-{\frac {\partial f}{\partial y}};\,1\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}}}$
параметрическое задание	${\displaystyle {\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}}$

Здесь ${\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v}\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}}$ .

Все производные берутся в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ .

Кривизна

Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной ; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.

Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ , в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются главными . Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова (например, у сферы или на торце эллипсоида вращения), тогда все направления в точке — главные.

Нормальные кривизны в главных направлениях называются главными кривизнами ; обозначим их ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ . Величина:

${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}}$

называется гауссовой кривизной , полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны , который подразумевает результат свёртки тензора кривизны ; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна ${\displaystyle {\frac {1}{R^{2}}}}$ . Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера .

Геодезические линии, геодезическая кривизна

Кривая на поверхности называется геодезической линией , или просто геодезической , если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности. Пример: на плоскости геодезическими будут прямые и отрезки прямых, на сфере — большие круги и их отрезки.

Эквивалентное определение: у геодезической линии проекция её главной нормали на касательную плоскость есть нулевой вектор. Если кривая не является геодезической, то указанная проекция ненулевая; её длина называется геодезической кривизной ${\displaystyle k_{g}}$ кривой на поверхности. Имеет место соотношение:

${\displaystyle k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}$ ,

где ${\displaystyle k}$ — кривизна данной кривой, ${\displaystyle k_{n}}$ — кривизна нормального сечения поверхности с той же касательной.

Геодезические линии относятся к внутренней геометрии. Перечислим их главные свойства.

• Через данную точку поверхности в заданном направлении проходит одна и только одна геодезическая.
• На достаточно малом участке поверхности две точки всегда можно соединить геодезической, и притом только одной. Пояснение: на сфере противоположные полюса соединяет бесконечное количество меридианов, а две близкие точки можно соединить не только отрезком большого круга, но и его дополнением до полной окружности, так что однозначность соблюдается только в малом.
• Геодезическая является кратчайшей. Более строго: на малом куске поверхности кратчайший путь между заданными точками лежит по геодезической.

Площадь

Ещё один важный атрибут поверхности — её площадь , которая вычисляется по формуле:

${\displaystyle S=\iint \,|[\mathbf {r} '_{u}\times \mathbf {r} '_{v}]|\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}$

Здесь ${\displaystyle \mathbf {r} '_{u}=\left\{{\frac {\partial x}{\partial u}},\,{\frac {\partial y}{\partial u}},\,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right\},\ \mathbf {r} '_{v}=\left\{{\frac {\partial x}{\partial v}},\,{\frac {\partial y}{\partial v}},\,{\frac {\partial z}{\partial v}}\right\}}$ .

В координатах получаем:

	явное задание	параметрическое задание
выражение для площади	${\displaystyle \iint \,{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\;\mathrm {d} \,x\,\mathrm {d} \,y}$	${\displaystyle \iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}$

Поверхность в топологии

Ориентация

Также важной характеристикой поверхности является её ориентация .

Поверхность называется двусторонней , если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали. В противном случае поверхность называют односторонней .

Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса .

Типы поверхностей

• Замкнутая поверхность — компактная поверхность без границы.
• Открытая поверхность — полная некомпактная поверхность без границы; в случае вложенной поверхности дополнительно предполагается, что она образует замкнутое множество в объемлющем пространстве.
• ориентируемые и неориентируемые поверхности

Примеры

Поверхности вращения

Поверхность вращения может быть получена вращением кривой в плоскости xz вокруг оси z в предположении, что кривая не пересекает ось z . Предположим, что кривая задана выражением

${\displaystyle x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)}$

с t лежащим в ( a , b ) , и параметризованная длиной дуги, так что

${\displaystyle {\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {\psi }}^{2}=1.}$

Тогда поверхность вращения является множеством точек

${\displaystyle M=\{(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in (a,b),\theta \in [0,2\pi )\}.}$

Гауссова кривизна и средняя кривизна задаются выражениями

${\displaystyle K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\dot {\psi }}+\varphi ({\dot {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.}$

Геодезические на поверхности вращение определяются .

Поверхность второго порядка

Рассмотрим поверхность второго порядка, заданную выражением

${\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}$

Эта поверхность позволяет параметризацию

${\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}$

Гауссова кривизна и средняя кривизна задаются выражением

${\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}$

Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность является поверхностью, которая может быть получена движением прямой линии в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ . Выбрав директрису на поверхности, то есть гладкую кривую единичной скорости c ( t ) , ортогональную прямым, а затем выбрав ${\displaystyle u(t)}$ как единичные вектора вдоль кривой в направлении прямых, для вектора скорости ${\displaystyle v=c_{t}}$ и u выполняется

${\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}$

Поверхность состоит из точек

${\displaystyle c(t)+s\cdot u(t)}$

при изменении s и t .

Тогда, если

${\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},}$

гауссова и средняя кривизна задаются выражениями

${\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.}$

Гауссова кривизна линейчатой поверхности обращается в нуль тогда и только тогда, когда ${\displaystyle u_{t}}$ и v пропорциональны . Это условие эквивалентно тому, что поверхность является огибающей плоскостей вдоль кривой, содержащей касательный вектор v и ортогональный вектор u , то есть поверхность является развёртывающейся вдоль кривой . Более обще поверхность в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ имеет нулевую гауссову кривизну близ точки тогда и только тогда, когда она развёртывается вблизи этой точки (Эквивалентное условие даётся ниже в терминах метрики.)

Минимальные поверхности

В 1760 году Лагранж распространил результаты Эйлера вариационного исчисление с интегралами от одной переменной на интегралы от двух переменных . Он обдумывал следующую задачу:

Если дана замкнутая кривая в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ , находим поверхность минимальной площади, имеющая кривую в качестве границы.

Такая поверхность называется минимальной поверхностью .

В 1776 году Жан Батист Мёнье показал, что дифференциальное уравнение, полученное Лагранжем, эквивалентно обращению в нуль средней кривизны поверхности:

Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда средняя кривизна обращается в нуль.

Минимальные поверхности имеют простую интерпретацию в реальной жизни — они имеют форму мыльной плёнки, если проволочную рамку окунуть в мыльный раствор и осторожно вынуть. Вопрос, существует ли минимальная поверхность с заданной границей, называется задачей Плато по имени бельгийского физика Жозефа Плато , который проводил эксперименты с мыльными плёнками в середине девятнадцатого века. В 1930 году Джесси Дуглас и Тибор Радо дали положительный ответ на задачу Плато (Дуглас получил одну из первых филдсовских премий за эту работу в 1936 году) .

Известно много примеров минимальных поверхностей, такие как катеноид , геликоид , поверхность Шерка и поверхность Эннепера . В этой области проводились интенсивные исследования, итог которых подведён в книге Оссермана . В частности, результат Оссермана показывает, что если минимальная поверхность не планарна, то её образ при отображении Гаусса плотен в ${\displaystyle S^{2}}$ .

Поверхности постоянной гауссовой кривизны

Если поверхность имеет постоянную гауссову кривизну, она называется поверхностью постоянной кривизны .

• Единичная сфера в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ имеет постоянную гауссову кривизну +1.
• Евклидова плоскость и цилиндр имеют постоянную гауссову кривизну 0.
• Поверхность вращения с ${\displaystyle \varphi _{tt}=\varphi }$ имеет постоянную гауссову кривизну −1. Частный случай получается путём принятия ${\displaystyle \varphi (t)=C\mathrm {ch} \,t}$ , ${\displaystyle C\mathrm {sh} \,t}$ и ${\displaystyle Ce^{t}}$ . Последний случай является классической псевдосферой , образованной вращением трактрисы вокруг центральной оси. В 1868 году Эудженио Бельтрами показал, что геометрия псеводосферы была напрямую связана с геометрией гиперболической плоскости , открытой независимо Лобачевским (1830) и Бойяи (1832). Уже в 1840 году Ф. Майндинг, студент Гаусса, получил тригонометрические формулы для псевдосферы, идентичные формулам для гиперболической плоскости . Эта поверхность постоянной кривизны ныне лучше понимается в терминах метрики Пуанкаре на верхней полуплоскости или единичном круге и может быть описана другими моделями, такими как модель Кляйна или гиперболоидная модель , полученная рассмотрением двулистного гиперболоида ${\displaystyle q(x,y,z)=-1}$ в трёхмерном пространстве Минковского , где ${\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}}$ .

Каждая из этих поверхностей постоянной кривизны имеет транзитивную группу Ли симметрий. Этот теоретико-групповой факт имеет далеко идущие следствия, которые особенно замечательны ввиду центральной роли, которую играют эти специальные поверхности в геометрии поверхностей согласно теореме об униформизации Пуанкаре (см. ниже).

Другие примеры поверхностей с гауссовой кривизной 0 включают конусы , и, более обще, любая развёртывающаяся поверхность .

Обобщение

О многомерных аналогах теории см.:

• Гиперповерхность
• Многообразие
• Подмногообразие
• Тензорный анализ

Примечания

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М. : Дрофа. — 570 с.
• Погорелов А. И. . — 6-е издание. — М. : Наука, 1974.
• Рашевский П. К. . — 3-е издание. — М. : ГИТТЛ, 1950.
• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Abbena E., Salamon S., Gray A. Minimal Surfaces via Complex Variables // Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. — Boca Raton: CRC Press, 2006. — ISBN 1-58488-448-7 .

Ссылки

• от 23 сентября 2016 на Wayback Machine

В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки . Исправьте короткие примечания , установленные через шаблон {{ sfn }} или его аналоги, в соответствии с инструкцией к шаблону, или добавьте недостающие публикации в раздел источников. Список сносок: , , , , , , , ,