Мур начал карьеру, выступая за университетские команды Фермановского и
Индианского
университетов. В составе последнего он был капитаном команды.
В 2004 году Дрю также выступал в Премьер-лиге развития за молодёжный состав клуба «
Чикаго Файр
».
13 января 2005 года Мур подписал контракт с
MLS
по программе
. 14 января на Супердрафте MLS 2005 он был выбран под общим шестым номером клубом «
Даллас
»
. Его профессиональный дебют состоялся 23 апреля в матче против «
Реал Солт-Лейк
», в котором он вышел на замену на 84-й минуте вместо
Кларенса Гудсона
. 6 мая 2006 года в техасском дерби против «
Хьюстон Динамо
» Дрю забил свой первый гол в профессиональной карьере
.
31 августа 2009 года Мур с пиком второго раунда Супердрафта MLS 2010 и
распределительными средствами
был обменян в «
Колорадо Рэпидз
» на
. 5 сентября в матче против «Торонто» он дебютировал за «Рэпидз»
. 5 июня 2010 года в поединке против «
Коламбус Крю
» Дрю забил свой первый гол за «Рэпидз». В
этом же году
он помог команде завоевать
Кубок MLS
, отыграв каждую минуту в постсезоне
. 12 июня 2012 года Мур подписал новый многолетний контракт с «Колорадо Рэпидз»
. 17 августа 2014 года в матче против «
Ди Си Юнайтед
» он получил разрыв передней крестообразной связки и латерального мениска правого колена, из-за чего выбыл из строя до конца
сезона
. Мур был отобран на
Матч всех звёзд MLS
2015, где с командой звёзд лиги встретился с английский «
Тоттенхэм Хотспур
»
. По окончании
сезона 2015
«Колорадо Рэпидз» не стал продлевать контракт с Муром согласно опции, но предложил ему новый контракт
.
16 декабря 2015 года Мур на правах свободного агента присоединился к «
Торонто
»
. 6 марта 2016 года в матче стартового тура
сезона
против «
Нью-Йорк Ред Буллз
» он дебютировал за канадский клуб
. 14 мая в поединке против «
Ванкувер Уайткэпс
» он забил свой первый гол за «Торонто»
. 15 декабря 2017 года Мур продлил контракт с «Торонто» на один год с опцией дальнейшего продления
. По окончании
сезона 2019
контракт Мура с «Торонто» истёк
. В составе клуба он трижды выиграл
первенство Канады
, а в
2017 году
во второй раз стал обладателем Кубка MLS.
27 ноября 2019 года Мур на правах свободного агента вернулся в «Колорадо Рэпидз», подписав однолетний контракт
. По окончании
сезона 2020
он подписал новый однолетний контракт с клубом
. По окончании
сезона 2021
контракт Мура с «Рэпидз» истёк
, но 7 января 2022 года игрок подписал с клубом новый однолетний контракт с опцией продления ещё на один год
. 30 сентября Дрю Мур объявил о завершении футбольной карьеры по окончании
сезона 2022
.