Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ на числовой прямой (иногда говорят ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностью) называется множество точек, удаленных от ${\displaystyle x_{0}}$ менее чем на ${\displaystyle \varepsilon }$ , то есть ${\displaystyle O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}}$ .

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый ${\displaystyle \varepsilon }$ -шар с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ .

В банаховом пространстве ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in B:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \}}$ .

В метрическом пространстве ${\displaystyle (M,\rho )}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle y}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in M:\rho (x,y)<\varepsilon \}}$ .

Общая топология

Пусть задано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ , где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество , а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология .

• Множество ${\displaystyle V\subset X}$ называется окрестностью точки ${\displaystyle x\in X}$ , если существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ такое, что ${\displaystyle x\in U\subset V}$ .
• Аналогично окрестностью множества ${\displaystyle M\subset X}$ называется такое множество ${\displaystyle V\subset X}$ , что существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ , для которого выполнено ${\displaystyle M\subset U\subset V}$ .

Замечания

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность ${\displaystyle V}$ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество ${\displaystyle U}$ . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
• Окрестностью множества точек ${\displaystyle M}$ называется такое множество ${\displaystyle V}$ , что ${\displaystyle V}$ есть окрестность любой точки ${\displaystyle x\in M}$ .

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией . Тогда ${\displaystyle (-1,2)}$ является открытой окрестностью, а ${\displaystyle [-1,2]}$ — замкнутой окрестностью точки ${\displaystyle 0}$ .

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество ${\displaystyle {\dot {V}}}$ называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки ${\displaystyle x\in X}$ , если

${\displaystyle {\dot {V}}=V\setminus \{x\},}$

где ${\displaystyle V}$ — окрестность ${\displaystyle x}$ .

См. также

• Глоссарий общей топологии

Примечания

1. , с. 13.

Литература

• Математическая Энциклопедия. — М. : Советская Энциклопедия , 1984 . — Т. 4.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М. : Мир , 1975 .