Параллелогра́мм ( др.-греч. παραλληλόγραμμον ← «параллельный» + «линия») — четырёхугольник , у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых . См. также другие варианты определения .

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник , квадрат и ромб .

Свойства

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.
• Противолежащие углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

  ${\displaystyle \left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|}$ .

• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
• Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
• Тождество параллелограмма : сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть

${\displaystyle a}$ — длина стороны ${\displaystyle AB}$ ,

${\displaystyle b}$ — длина стороны ${\displaystyle BC}$ ,

${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — длины диагоналей; тогда

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}$

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника : учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей . У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: ${\displaystyle AB=CD,AB\parallel CD}$ .
2. Все противоположные углы попарно равны: ${\displaystyle \angle A=\angle C,\angle B=\angle D}$ .
3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: ${\displaystyle AB=CD,BC=DA}$ .
4. Все противоположные стороны попарно параллельны: ${\displaystyle AB\parallel CD,BC\parallel DA}$ .
5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ${\displaystyle AO=OC,BO=OD}$ .
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: ${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}}$ .

Площадь параллелограмма

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников .

• Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту :

${\displaystyle S=bh}$ , где ${\displaystyle b}$ — сторона, ${\displaystyle h}$ — высота, проведённая к этой стороне.

• Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:

${\displaystyle S=ab\sin \alpha ,}$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — смежные стороны, ${\displaystyle \alpha }$ — угол между сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ .

• Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны ${\displaystyle a,\ b}$ и длину любой из диагоналей ${\displaystyle d}$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников :

${\displaystyle S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}}$

где ${\displaystyle p=(a+b+d)/2.}$

См. также

• Параллелепипед
• Прямоугольник
• Параллелограмм Вариньона

Примечания

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .