Пусть
—
измеримое пространство
,
множество значений параметра
. Функция
параметра
, значениями которой являются
случайные величины
на пространстве элементарных событий
в фазовом пространстве
, называется
случайным процессом в фазовом пространстве
.
Терминология
Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».
В зависимости от вида множества
часто применяются следующие термины.
Если
, то параметр
может интерпретироваться как
время
. Тогда случайная функция
называется
случайным процессом
. Если множество
дискретно, например
, то такой случайный процесс называется
случа́йной после́довательностью
.
Если
, где
, то параметр
может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют
случа́йным по́лем
.
называются
конечномерными распределениями вероятностей
случайного процесса
.
Случайные процессы
и
, принимающие значение в фазовом пространстве
называются
эквивалентными
, если при любом
эквивалентны соответствующие значения
и
.
При каждом фиксированном
функция
параметра
со значениями в фазовом пространстве
называется
реализацией
или
траекто́рией
случайного процесса
. Случайный процесс
называется
непосредственно заданным
, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией
в функциональном пространстве
всех функций на множестве
со значениями в фазовом пространстве
; точнее, если
и
-алгебра
порождается всевозможными цилиндрическими множествами
, где
и
, а значения
имеют вид
,
. Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей
(
таких, что
, являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве
, существует непосредственно заданный случайный процесс
с такими же конечномерными распределениями вероятностей.
Ковариационная функция
. Пусть
действительный или комплексный случайный процесс на множестве
, имеющий вторые моменты:
. Значения случайного процесса
можно рассматривать как элементы гильбертова пространства
— пространства всех случайных величин
,
, со скалярным произведением
Вместо ковариационной функции может применятся
корреляционная функция
, являющуюся ковариационной функцией процесса
с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов (
) корреляционная функция равна
дисперсии
случайного процесса
.
Функция
двух переменных
и
является ковариационной функцией некоторого случайного процесса
,
, тогда и только тогда, когда она для всех
удовлетворяет следующему условию положительной определенности:
для любых
и любых комплексных чисел
.
Классификация
Случайный процесс
называется процессом
дискретным во времени
, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени
, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется
процессом с непрерывным временем
, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
Случайный процесс называется
процессом с непрерывными состояниями
, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется
случайным процессом с дискретными состояниями
, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
Случайный процесс называется
стационарным
, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени
, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется
стационарным
, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется
нестационарным
.
Случайная функция называется
стационарной в широком смысле
, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а
АКФ
зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл
А. Я. Хинчин
.
Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены
Ягломом
.
Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются
марковскими
.
Случайный процесс называется
процессом с независимыми приращениями
, если для любого набора
, где
, а
,
случайные величины
,
,
,
независимы в совокупности.
Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется
эргодическим
.
Iosif Il?ich Gikhman, Anatoli? Vladimirovich Skorokhod.
. — Courier Corporation, 1996-01-01. — 548 с. —
ISBN 978-0-486-69387-3
.
↑
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.
(неопр.)
.
www.booksite.ru
.
Дата обращения: 20 августа 2021.
20 августа 2021 года.
Яглом А. М.
Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.
Литература
Свешников А. А.
Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
Баскаков С. И.
Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.